第一章行列式 教学目的通过本章的讲授，使学生知道全排列及其逆序数、对换的概念，理解 排列奇偶性的作用，掌握n阶行列式的定义；熟练掌握行列式的性质， 能运用性质简化行列式的计算；掌握余子式、代数余子式的概念及行 列式按一行（列）展开定理；了解克莱姆法则，会用该法则解含个方 程的n元线性方程组 教学重点：行列式的概念、性质、展开定理及应用，莱姆法则及应用 教学难点：行列式的计算、莱姆法则的应用 教学内容： §1行列式的定义 一、全排列及其逆序数 由n个不同元素排成一列，叫做这n个元素的全排列（简称排列）。特别地，从1到n 这n个自然数，规定由小到大的自然排列为标准次序. 定义1在n阶排列P,P2.P。中，当其中某两个元素的先后次序与排列的标准次序不 同时，就说有一个逆序：这个”阶排列的所有逆序的总数叫做它的逆序数，记作 t(pp.Pn) 若(P,P2.Pn)是奇数，则称PP2.Pn是一个奇排列：反之，称之为偶排列. 显然，对于确定的n∈N·,共有n个不同的n阶排列. 计算排列的逆序数的方法：不妨设从1到n这n个自然数的一个排列为pPP, 考虑元素P,（i=1,2,n),如果比P,大且排在P,前面的元素有1，个，就说元素p,的逆 序数为(，那么所有元素的逆序数的总和 =4+,-2 即为这个排列P,P2.Pn的逆序数。 例1求排列45312的逆序数。 解在排列45312中，由于
1 第一章 行列式 教学目的 通过本章的讲授，使学生知道全排列及其逆序数、对换的概念，理解 排列奇偶性的作用，掌握 n 阶行列式的定义；熟练掌握行列式的性质， 能运用性质简化行列式的计算；掌握余子式、代数余子式的概念及行 列式按一行(列)展开定理；了解克莱姆法则，会用该法则解含 n 个方 程的 n 元线性方程组 教学重点：行列式的概念、性质、展开定理及应用，莱姆法则及应用 教学难点：行列式的计算、莱姆法则的应用 教学内容： §1 行列式的定义 一、全排列及其逆序数 由 n 个不同元素排成一列，叫做这 n 个元素的全排列（简称排列）。特别地，从 1 到 n 这 n 个自然数，规定由小到大的自然排列为标准次序． 定义 1 在 n 阶排列 p1 p2 pn 中，当其中某两个元素的先后次序与排列的标准次序不 同时，就说有一个逆序；这个 n 阶排列的所有逆序的总数叫做它的逆序数，记作 ( p1 p2 pn )． 若( p1 p2 pn )是奇数，则称 p1 p2 pn 是一个奇排列；反之，称之为偶排列． 显然，对于确定的 n∈N*，共有 n!个不同的 n 阶排列． 计算排列的逆序数的方法：不妨设从 1 到 n 这 n 个自然数的一个排列为 p1 p2 pn ， 考虑元素 i p （ i = 1,2, , n ），如果比 i p 大且排在 i p 前面的元素有 i t 个，就说元素 i p 的逆 序数为 i t ，那么所有元素的逆序数的总和 = = + + + = n i n i t t t t t 1 1 2 即为这个排列 p1 p2 pn 的逆序数。 例 1 求排列 45312 的逆序数。 解 在排列 45312 中，由于
4排在首位，逆序数为0： 5的前面比5大的数有0个，其逆序数为0： 3的前面比3大的数有2个，其逆序数为2： 1的前面比1大的数有3个，其逆序数为3： 2的前面比2大的数有3个，其逆序数为3。 故排列45312的逆序数为8. 例2求排列n-1)n-2).321的逆序数。 解该排列的逆序数为 un-1.)=21=2n-0 例3求排列13.(2n-1)24.(2m)的逆序数，并判断其奇偶性。 解该排列的逆序数为 1=m-1+(-2)++1+0=m- 2 所以 当n=4k时，则r(mn-1.)=2k(4k-1),nn-1.21是偶排列： 当n=4k+1时，则r(nn-1.)=2k4k+1),nn-1.21是偶排列： 当n=4k+2时，则τ(nn-1.)=(2k+1(4k+),故它是奇排列： 当n=4k+3时，则t(mn-1.=(2k+14k+3引，故它是奇排列 二、对换 在一个排列中，将任意两个元素对调，其余的元素不动，得到了另一个排列，这样的变 换叫做一个对换。将相邻两个元素对调，称为相邻对换 定理1排列经过1次对换改变排列的奇偶性. 证明先证相邻对换的情形，设给定的排列为 经人k对换变为 .k 这里“.”表示那些不动的数码。于是，若<，则 t(.=tjk-1 若>少，则 2
2 4 排在首位，逆序数为 0； 5 的前面比５大的数有０个，其逆序数为０； 3 的前面比 3 大的数有 2 个，其逆序数为 2； 1 的前面比 1 大的数有 3 个，其逆序数为 3； 2 的前面比 2 大的数有 3 个，其逆序数为 3。 故排列 45312 的逆序数为８． 例 2 求排列 n n n ( 1)( 2) 321 − − 的逆序数。 解 该排列的逆序数为 1 1 1 ( 1 1) ( 1) 2 n i n n i n n − = − = = − 例３ 求排列 13(2n −1) 2 4(2n) 的逆序数，并判断其奇偶性。 解 该排列的逆序数为 2 ( 1) ( 1) ( 2) 1 0 − = − + − + + + = n n t n n 所以 当 n=4k 时，则 (n n −1 1) = 2k(4k −1),n n −1 21 是偶排列； 当 n = 4k + 1 时，则 (n n −11) = 2k(4k +1),n n −1 21 是偶排列； 当 n = 4k + 2 时，则 (n n −1 1) = (2k +1)(4k +1), 故它是奇排列； 当 n = 4k + 3 时，则 (n n −11) = (2k +1)(4k + 3), 故它是奇排列． 二、对换 在一个排列中，将任意两个元素对调，其余的元素不动，得到了另一个排列，这样的变 换叫做一个对换．将相邻两个元素对调，称为相邻对换。 定理 1 排列经过 1 次对换改变排列的奇偶性． 证明 先证相邻对换的情形，设给定的排列为 jk 经 j、k 对换变为 kj 这里“.”表示那些不动的数码．于是，若 k＜j，则 (kj) = ( jk) −1 ; 若 k＞j，则
t.)=t(.k+ 因此，这种特殊情况下定理1成立. 一般情形，设排列为 .i2.i,k.g (1) 经人k对换变为 .kii2.i,j. (2) (1)变为(2，可先对1)施行相邻位置情形的j与1，对换，了与对换，了与1，对换，j与k 对换，共1+1次变为 2., (3) 再对(3)施行相邻位置情形的k与，对换，k与对换，.，k与对换，共1次便变为2).由 上所证，由于每次这样对换都改变排列的奇偶性，因而2+1次对换将()变为2)，它们有互 异的奇偶性。定理成立。 推论奇排列变成标准排列的对换次数为奇数，偶数排列变成标准排列的对换次数为 偶数。 定理2当n>1时，在所有n阶排列中，奇排列与偶排列各有m/2个， 证设奇挂列个数为k,偶排列个数为m,则k+m=,又调换每个奇排列的前两个数码， 则由定理1知道它们都变为偶排列，且易见不同的奇排列变为不同的偶排列.因此，k≤m.同 理可证m≤k,故k=m=/2. 现在，我们来阐述 三、n阶行列式的定义 1.二阶行列式： a11a12 =aa22-a1z421 a21a2 2.三阶行列式： 21a2a2=a1a22a33+a12a23a31+a3a21a2 -a1142a32-a122143-a13a22a31 它们有以下特点： 1)展开式有l项(=2,3)，每项都是n个元素相乘，这n个元素既位于不同的行又位于 不同的列：
3 (kj) = ( jk) +1 因此，这种特殊情况下定理 1 成立． 一般情形，设排列为 ji1 i2 i t k, (1) 经 j、k 对换变为 ki1 i2 i t j． (2) (1)变为(2)，可先对(1)施行相邻位置情形的 j 与 i 1 对换，j 与 2 i 对换，.，j 与 t i 对换，j 与 k 对换，共 t + 1 次变为 i1 i2 i t kj, (3) 再对(3)施行相邻位置情形的 k 与 t i 对换，k 与 t−1 i 对换，.，k 与 1 i 对换，共 t 次便变为(2)．由 上所证，由于每次这样对换都改变排列的奇偶性，因而 2t+1 次对换将(1)变为(2)，它们有互 异的奇偶性．定理成立． 推论 奇排列变成标准排列的对换次数为奇数，偶数排列变成标准排列的对换次数为 偶数。 定理 2 当 n＞1 时，在所有 n 阶排列中，奇排列与偶排列各有 n!/ 2 个． 证 设奇排列个数为 k，偶排列个数为 m，则 k + m = n!．又调换每个奇排列的前两个数码， 则由定理 1 知道它们都变为偶排列，且易见不同的奇排列变为不同的偶排列．因此，k≤m．同 理可证 m≤k，故 k = m = n!/ 2 ． 现在，我们来阐述 三、 n 阶行列式的定义 1．二阶行列式： 11 22 12 21 21 22 11 12 a a a a a a a a = − 2．三阶行列式： 11 22 33 12 23 31 13 21 32 31 32 33 21 22 23 11 12 13 a a a a a a a a a a a a a a a a a a = + + − a11a23a32 − a12a21a33 − a13a22a31 它们有以下特点： 1)展开式有 n!项(n=2，3)，每项都是 n 个元素相乘，这 n 个元素既位于不同的行又位于 不同的列；
2)每项带有正号或负号，当这n个元素所在行按自然顺序排定后，若相应的列号的排列 是偶排列时，该项取正号：反之，即其列号的排列是奇排列时，该项取负号， 定义2设有n2个数a(亿，j=1,2.,m),令 aa2.am (4) aan2.anm 这里∑对所有n阶排列户P2.P求和，共有N项。叫做一个n阶行列式，记作， PP:"P 也记作det4.n阶行列式中共有l项求和. 特别地，当1时，一阶行列式就是a=a,注意不要与绝对值符号相混淆： 当2,3时，与上面的展开式一致. a1ma1.an a.din-1 diun 例4计算D,= an.an 解D,中只有一项a,42.anm不显含0，且列标构成排列的逆序数为 x2.m）=0,故D=(-l)'a1a2am=a1a22.am D2中只有一项aa1.an1不显含0，且列标构成排列的逆序数为 m2)=1+2++(a-=- 2 故D,=-raa4=-)号学。 na2.anl 结论：以主对角线为分界线的上（下）三角行列式的值等于主对角线上元素的乘积。 以副对角线为分界线的上（下）三角行列式的值等于副对角线上元素的乘积，并冠 以符号←)学 特例： -
4 2)每项带有正号或负号，当这 n 个元素所在行按自然顺序排定后，若相应的列号的排列 是偶排列时，该项取正号；反之，即其列号的排列是奇排列时，该项取负号． 定义 2 设有 2 n 个数 a (i, j 1,2, ,n) ij = ，令 1 2 1 2 11 12 1 21 22 2 1 2 1 2 ( 1) n n n n t p p np p p p n n nn a a a a a a a a a a a a = − (4) 这里 1 2 n p p p 对所有 n 阶排列 1 2 n p p p 求和，共有 n! 项． 叫做一个 n 阶行列式，记作|A|， 也记作 detA．n 阶行列式中共有 n! 项求和． 特别地，当 n=1 时，一阶行列式就是 a = a ，注意不要与绝对值符号相混淆； 当 n=2，3 时，与上面的展开式一致． 例４ 计算 nn n n a a a a a a D 22 2 11 12 1 1 = , 1 21 2, 1 11 1, 1 1 2 n n n n a a a a a a D − − = . 解 D1 中只有一项 a11a22 ann 不显含 0, 且列标构成排列的逆序数为 (12n) = 0 , 故 D1 a11a22 ann a11a22 ann = (−1) = ． D2 中只有一项 a1n a2,n−1 an1 不显含 0, 且列标构成排列的逆序数为 2 ( 1) ( 21) 1 2 ( 1) − = + + + − = n n n n 故 1 2, 1 1 2 ( 1) 2 1 2, 1 1 ( 1) ( 1) n n n n n D a n a n an a a − a − = − − = − ． 结论：以主对角线为分界线的上(下)三角行列式的值等于主对角线上元素的乘积． 以副对角线为分界线的上(下)三角行列式的值等于副对角线上元素的乘积, 并冠 以符号 2 ( 1) ( 1) − − n n ． 特例： n n 1 2 2 1 = ， n n n n 1 2 2 ( 1) 2 1 ( 1) − = −
an a2.am .a2 (1) an2.anm 证由定义知 D= (2) 先证(1)中的项都是(2)中的项：交换乘积次序可得 (d=(dipdspd (3) ①t(g42.9n)=偶数 919.9。→12.n偶数次对换 12.n→PP2.P。偶数次对换 所以(PP2.Pn)=偶数 ②t(q929n)=奇数 942.9。→12n奇数次对换 12.n→PP2P奇数次对换 所以(PP2.P)=奇数 因此(-1)"9.)=(-1)nP四p,由(3)可得 (-l）a1a2an=(-）dpd2pap. 同理可证(2)中的项都是(1)中的项. §2行列式的性质 . / 性质1设D=: :,Dr=: :,则DT=D.即行列式与其转置 行列式相等。 证令b,=an亿，j=12,.,n川)，则
5 定理３ q q q n q q q q q q n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a a D 1 2 ( ) ( ) 1 2 21 22 2 11 12 1 1 2 1 2 1 2 = = (−1) (１) 证 由定义知 n n n p p np p p p p p p D a a a 1 2 1 2 1 2 1 2 ( ) ( ) = (−1) (２) 先证(１)中的项都是(２)中的项：交换乘积次序可得 n n n n p p np q q q q q q n q q q a a a a a a 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 ( ) 1 2 ( ) ( 1) ( 1) − = − (3) ① (q1q2 qn ) = 偶数 q1q2 qn →12n 偶数次对换 12n → p1 p2 pn 偶数次对换 所以 ( p1 p2 pn ) = 偶数 ② (q1q2 qn ) = 奇数 q1q2 qn →12n 奇数次对换 12n → p1 p2 pn 奇数次对换 所以 ( p1 p2 pn ) = 奇数 因此 ( ) ( ) 1 2 1 2 ( 1) ( 1) q q qn p p pn − = − , 由(3)可得 n n n n p p np p p p q q q n q q q a a a a a a 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 ( ) 1 2 ( ) ( 1) ( 1) − = − 同理可证(２)中的项都是(１)中的项． §2 行列式的性质 性质 1 设 n nn n a a a a D 1 11 1 = , n nn n a a a a D 1 11 1 Τ = , 则 D = D Τ ．即行列式与其转置 行列式相等。 证 令 b a (i, j 1,2, ,n) ij = ji = , 则