第四章向量组的线性相关性 教学目的：使学生掌握向量的概念：向量组的线性相关性及判定线性相关性的定 理、性质：向量组的秩及与秩相关的定理和求秩的方法：线性方程组解的结构理 论、向量空间 教学内容：向量的概念：向量的概念：向量组的线性相关性及判定线性相关性的 定理、性质：向量组的秩及与秩相关的定理和求秩的方法：线性方程组解的结构 理论 教学重点：向量的概念：向量组的线性相关性及判定线性相关性的定理、性质： 向量组的秩及与秩相关的定理和求秩的方法：线性方程组解的结构理论 教学难点：向量组的线性相关性及判定线性相关性的定理、性质：向量组的秩及 与秩 教学环节：先介绍向量的概念，然后介绍向量组的线性相关性及判定线性相关性 的定理、性质，最后介绍向量组的秩及与秩相关的定理和求秩的方法：线性方程 组解的结构理论、向量空间 敦学学时：10学时 §4.1向量组及其线性组合 一，向量的概念及其运算 定义n个有顺序的数a,4,.,an所组成的数组 a a, a= 称为维向量。数a,a2,.,a,称为向量a的分量（或坐标），a,表示a的第j个 分量（或坐标）。分量是实数的向量称为实向鼻，分量是复数的向量称为复向最 本书只讨论实向量 行向量写成一行的向量，记作a=(a,a2,an)
第四章 向量组的线性相关性 教学目的：使学生掌握向量的概念；向量组的线性相关性及判定线性相关性的定 理、性质；向量组的秩及与秩相关的定理和求秩的方法；线性方程组解的结构理 论、向量空间 教学内容：向量的概念；向量的概念；向量组的线性相关性及判定线性相关性的 定理、性质；向量组的秩及与秩相关的定理和求秩的方法；线性方程组解的结构 理论 教学重点：向量的概念；向量组的线性相关性及判定线性相关性的定理、性质； 向量组的秩及与秩相关的定理和求秩的方法；线性方程组解的结构理论、 教学难点：向量组的线性相关性及判定线性相关性的定理、性质；向量组的秩及 与秩 教学环节：先介绍向量的概念，然后介绍向量组的线性相关性及判定线性相关性 的定理、性质，最后介绍向量组的秩及与秩相关的定理和求秩的方法；线性方程 组解的结构理论、向量空间 教学学时：10 学时 §4．1 向量组及其线性组合 一． 向量的概念及其运算 定义 n 个有顺序的数 1 2 , , , n a a a 所组成的数组 = n a a a 2 1 称为 n 维向量。数 1 2 , , , n a a a 称为向量 的分量（或坐标）， j a 表示 的第 j 个 分量（或坐标）。分量是实数的向量称为实向量，分量是复数的向量称为复向量。 本书只讨论实向量。 行向量 写成一行的向量，记作 ( , , , ) 1 2 n T = a a a
9 列向量写成一列的向量，记作a= a. 注从矩角度行向量与列向量是不同的，但从向量角度行向量与列向量是没有区 别的 向量的几何意义2维向量与3维向量可以用有向线段直观地体现出来，而维向 量（当>3时）就没有这种直观的几何意义，只是沿用几何的术语罢了。 相等向量设a=(a,.,an),B=(b,b2,.,b,),都是n维向量，当且仅当它 们的各个对应分量都相等，即a,=b(i=1,2,n)时，称向量α与B相等，记 作a=B. 零向量分量都是零的向量称为零向量，记作0，即 0=(0.0.,0) 注维数不同的零向量时不同的。 向量的运算向量的运算按照矩阵的运算规则进行，行向量和列向量作为向量是 一样的，但在进行运算时，行向量即行矩阵，列向量即列矩阵。 向量的运算，包括向量的加法和数乘向量两种运算，统称为向量的线性运篡 同样满足下列八条规律： (1)a+B=B+a (2)(a+B)+Y=a+(B+y) (3)a+0=a (4)a+(-a)=0 (5)la=a (6)(ua)=(a) (7)1(a+B)=a+B (8)(2+a=2a+ua 二. 向量组的概念与相关定理 方程组 [x1+2x2-x3=0 2x1-3x2+x3=0 4x1+x2-x3=0
列向量 写成一列的向量，记作 = n a a a 2 1 注 从矩角度行向量与列向量是不同的，但从向量角度行向量与列向量是没有区 别的。 向量的几何意义 2 维向量与 3 维向量可以用有向线段直观地体现出来，而 n 维向 量（当 n 3 时）就没有这种直观的几何意义，只是沿用几何的术语罢了。 相等向量 设 T n T (a ,a , ,an ) , (b ,b , ,b ) = 1 2 = 1 2 ，都是 n 维向量，当且仅当它 们的各个对应分量都相等，即 ai = bi （ i = 1,2, , n ）时，称向量 与 相等，记 作 = . 零向量 分量都是零的向量称为零向量，记作 0 ，即 0 = (0,0, ,0) 注 维数不同的零向量时不同的。 向量的运算 向量的运算按照矩阵的运算规则进行，行向量和列向量作为向量是 一样的，但在进行运算时，行向量即行矩阵，列向量即列矩阵。 向量的运算，包括向量的加法和数乘向量两种运算，统称为向量的线性运算。 同样满足下列八条规律： （1） + = + （2） ( + ) + = + ( + ) （3） + 0 = （4） + (−) = 0 （5） 1 = （6） ( ) = () （7） ( + ) = + （8） ( + ) = + 二． 向量组的概念与相关定理 方程组 + − = − + = + − = 4 0 2 3 0 2 0 1 2 3 1 2 3 1 2 3 x x x x x x x x x
对应3个向量a=(1,2,-),a2=(2,-3,),a=(4,1,-).前面己指出， 用2乘第一个方程加到第二个方程上，可得第三个方程。各个方程之间的这种关 系反映到向量之间，就是 a3=2a1+a2 即a可由a,a%经线性运算得到。这时，我们称a,是a,a,的线性组合。一般 地，有 定义对于向量a,a,a2,.,an,若有一组数入，方，.，m使得 c=a+a,+.+nanm 则称a是a,a2,.,an的线性组合（或称a可由a,a2,.,an线性表示)。 同维数的向量所组成的集合称为向量组。 向量b能由向量组A:a,凸，心线性表示的的充要条件是： 方程组x1a+x2a2+.+xmam=b有解。于是有下列定理： 定理1：向量b能由向量组A:a,g,.,a线性表示的的充要条件是 矩阵A=(a,a,a）的秩等于矩阵B=(a,a,am,b)的秩。 定义（向量组的线性表示)设有两个向量组A：a,a,.,Cm和B: 月，月，.，月，若B组中的每一个向量都能由向量组A线性表示，则称向量组B 能由向量组A线性表示：若向量组A与向量组B能够相互线性表示，则称这两 个向量组等价。 向量组之间的这种关系，反映到齐次线性方程组，便有：若A组能由B组线 性表示，则B组所对应的齐次线性方程组（一个向量对应一个方程）的解一定是 A组所对应的齐次线性方程组的解。若A组与B组等价，则所对应的两个齐次线 性方程组同解 显然，如果A组能由B组线性表示，B组能由C组线性表示，则A组能由C 组线性表示。特别地，A组能由A组自身线性表示。 A组能由B组线性表示，也就是存在数k(1=1,2,.,r,j=1,2,.,3), 使得 a,=k月+kz月2+.+k月（i=l,2,.,r) 当a为行向量时，记
对应 3 个向量 (1, 2 , 1) 1 = − ， (2 , 3 , 1) 2 = − ， (4 , 1 , 1) 3 = − . 前面已指出， 用 2 乘第一个方程加到第二个方程上，可得第三个方程。各个方程之间的这种关 系反映到向量之间，就是 3 = 21 + 2 即 3 可由 1 2 , 经线性运算得到。这时，我们称 3 是 1 2 , 的线性组合。一般 地，有 定义 对于向量 m , , , , 1 2 ，若有一组数 m , , , 1 2 ，使得 = 11 + 2 2 ++ m m 则称 是 m , , , 1 2 的线性组合（或称 可由 m , , , 1 2 线性表示）。 同维数的向量所组成的集合称为向量组。 向量 b 能由向量组 A ： m , , , 1 2 线性表示的的充要条件是： 方程组 x11 + x2 2 ++ xm m = b 有解。于是有下列定理： 定理 1：向量 b 能由向量组 A ： m , , , 1 2 线性表示的的充要条件是 矩阵 A = ( m , , , 1 2 ）的秩等于矩阵 B = ( 1 , 2 , , m ,b ）的秩。 定义 （向量 组的线性 表示） 设有两个向量组 A ： m , , , 1 2 和 B ： l , , , 1 2 ，若 B 组中的每一个向量都能由向量组 A 线性表示，则称向量组 B 能由向量组 A 线性表示；若向量组 A 与向量组 B 能够相互线性表示，则称这两 个向量组等价。 向量组之间的这种关系，反映到齐次线性方程组，便有：若 A 组能由 B 组线 性表示，则 B 组所对应的齐次线性方程组（一个向量对应一个方程）的解一定是 A 组所对应的齐次线性方程组的解。若 A 组与 B 组等价，则所对应的两个齐次线 性方程组同解。 显然，如果 A 组能由 B 组线性表示， B 组能由 C 组线性表示，则 A 组能由 C 组线性表示。特别地， A 组能由 A 组自身线性表示。 A 组能由 B 组线性表示，也就是存在数 ij k （ i =1, 2 , , r ， j =1, 2 , , s ）， 使得 i = ki1 1 + ki2 2 ++ kis s （ i =1, 2 , , r ） 当 T i 为行向量时，记
a B A= B B 即有矩阵 (k1k2·k: K=(k)= kk.k 使得 A=KB 对于列向量组A:a1,2,.,a,及B:b1,b2,.,b,记 A=(a1,02,a,),B=(b,b2,.,b,) A组能由B组线性表示，也就是存在矩阵K,x,使得 A=BK 向量组之间的等价关系具有下述性质： (1)反身性：A组与A组等价： (2)对称性：若A组与B组等价，则B组与A组等价： (3)传递性：若A组与B组等价，B组与C组等价，则A组与C组等价 在数学中，把具有上述三条性质的关系称为等价关系。当两个线性方程组同 解时，也称这两个线憔友程组篾价：当命题A是命题B的充要条件时，也称这两 个命题篾价。 向量组B:月，B,B能由向量组A:a,a2,C线性表示相等于存 在矩阵m×I矩阵K使 (B,B2,.,B)=(C1,a2,“,am)K, 即矩阵方程(a,a,.,a)X=(B,B,.,B,)有解。于是有如下定理 定理2向量组B:月，月2，月，能由向量组A:C,a,an线性表示的 充分必要条件是矩阵A=(a,a2,.,am)的秩等于矩阵 (A,B)=(a,Cm月，月，.，月，)的秩。即，R(A)=R(AB) 推论向量组B:月，月2，月，能由向量组A:g1,a,.,an等价的充分必要 条件是R(A)=R(B)=R(AB)
= T r T T A 2 1 , = T s T T B 2 1 即有矩阵 11 12 1 21 22 2 1 2 ( ) s s ij r s r r r s k k k k k k K k k k k = = 使得 A KB = 对于列向量组 A ：a a ar , , , 1 2 及 B ：b b bs , , , 1 2 ，记 ( , , , ) A = a1 a2 ar ， ( , , , ) B = b1 b2 bs A 组能由 B 组线性表示，也就是存在矩阵 K s r ，使得 A BK = 向量组之间的等价关系具有下述性质： （1）反身性： A 组与 A 组等价； （2）对称性：若 A 组与 B 组等价，则 B 组与 A 组等价； （3）传递性：若 A 组与 B 组等价， B 组与 C 组等价，则 A 组与 C 组等价。 在数学中，把具有上述三条性质的关系称为等价关系。当两个线性方程组同 解时，也称这两个线性方程组等价；当命题 A 是命题 B 的充要条件时，也称这两 个命题等价。 向量组 B ： l , , , 1 2 能由向量组 A ： m , , , 1 2 线性表示相等于存 在矩阵 ml 矩阵 K 使 ( , , , ) 1 2 l = (1 , 2 , , m )K ， 即矩阵方程 (1 , 2 , , m )X ( , , , ) = 1 2 l 有解。于是有如下定理 定理 2 向量组 B ： l , , , 1 2 能由向量组 A ： m , , , 1 2 线性表示的 充分必要条件是矩阵 A = ( m , , , 1 2 ）的秩等于矩阵 (A,B) = ( , , , , , , , , 1 2 m 1 2 l ）的秩。即， R((A) = R(A,B) 推论 向量组 B ： l , , , 1 2 能由向量组 A ： m , , , 1 2 等价的充分必要 条件是 R((A) = R(B) = R(A,B)
§4.2向量组的线性相关性 向量组a,a,.,&n中有没有某个向量可由其余向量线性表示，这是向量 组的一种重要性质，称为向量组的线性相关性。 定义设有n维向量组立，元，.，立，若存在一组不全为零的数 k,k,.,kn,使得 ka1+k,a+.+k am=0 则称向量组a,凸，an线性相关，否则称为线性无关。 特别地，单独一个零向量0线性相关：单独一个非零向量α≠0线性无关。 例1向量组 a=0,2,-1),a2=(2,-3,),a=(4,1,-) 线性相关。这是因为 2a+a2-a3=0 其中2,1，-1就是一组不全为零的数。 例2讨论向量组 元=(1,1,0，元2=(0,2,5)，3=(1,3,6) 的线性相关性。 解设有三个数k,k2,k,使得 k a+k:a:+k;a;=0 即 k1,1,1)+k2(0,2,5)+k1,3,6)=0 (k+k,k+2k2+3k,k+5k2+6k)=0 从而有 k+k=0 k+2k2+3k=0 k+5k2+6k3=0 化简得到k=-k,k=-k,取k=-1,则有k=k=1.于是得到一组不全为 零的数1,1，-1，使得
§4.2 向量组的线性相关性 向量组 m , , , 1 2 中有没有某个向量可由其余向量线性表示，这是向量 组的一种重要性质，称为向量组的线性相关性。 定 义 设 有 n 维向量组 m , , , 1 2 ， 若 存 在 一 组 不 全 为 零 的 数 m k , k , , k 1 2 ，使得 k11 +k 2 2 ++ km m = 0 则称向量组 m , , , 1 2 线性相关，否则称为线性无关。 特别地，单独一个零向量 0 线性相关；单独一个非零向量 0 线性无关。 例 1 向量组 (1, 2 , 1) 1 = − ， (2 , 3 , 1) 2 = − ， (4 , 1 , 1) 3 = − 线性相关。这是因为 21 + 2 − 3 = 0 其中 2 ,1, −1 就是一组不全为零的数。 例 2 讨论向量组 (1,1,1) 1 = ， (0 , 2 , 5) 2 = ， (1, 3 , 6) 3 = 的线性相关性。 解 设有三个数 1 2 3 k , k , k ，使得 k11 + k2 2 + k33 = 0 即 k1 (1 , 1 , 1) + k2 (0 , 2 , 5) + k3 (1 , 3 , 6) = 0 ( 1 3 , 1 2 2 3 3 , 1 5 2 6 3 ) 0 k + k k + k + k k + k + k = 从而有 + + = + + = + = 5 6 0 2 3 0 0 1 2 3 1 2 3 1 3 k k k k k k k k 化简得到 1 3 k = −k ， 2 3 k = −k ，取 k3 = −1 ，则有 k1 = k2 =1. 于是得到一组不全为 零的数 1,1, −1 ，使得