16复变函数习题精解精练(2) / z - 1/ > 4;(1)Im(z) > 0;(3)0 <Re(z) <1;(4)2 ≤—z一≤3;(5)/ z - 1/ < /2 +3/;(6) -1 < arge <-1 + ;(7)/ z - 1/ < 4/ z + 11 ;(8)/2 - 2/ + 1 ± + 2/ ≤ 6;(9)[z ~ 2|- /z + 2/> 1:(10)-(2+i)z(2-i)z≤4.分析把复数z写成+iy的形式，然后将题目中的条件转化为，满足的条件，再在直角坐标系中解答解（1)Im(2）>0,即>0，为轴上半平面（不含轴），是无界单连通区域，见图1-16.(2)14,即（-1)+16,为圆周（-1)+=16的外部（不含圆周),是无界多连通区域，见图1-17.(3)0<Re(z）<1,即0<*<1为由直线=0和=1所构成的带形区域（不含两直线），是无界单连通区域，见图1－18.(4)21z3,即4≤+9,为圆周+=4与+=9所围成的环形闭区域，是有界多连通闭区域，见图1－19.图1-16图1~17图1-18图 1 ~ 19(5)/z-1//z+3,即(+1)+2（+3)+,化简得>=1,为直线=-右边的区域（不含直线α=一1），是无界单连通区域，见图120.(6）-1<arg<-1+元，为由射线argz=～1及argz=-1+元所构成的角形区域（不含两射线），是无界单连通区域，见图1－21
17第1章复数与复变函数5argz:argz图1-20图1-21(7)=1/4z+1)可写成(×-1)+16+1)2+162,化简可得(*+ ) + >(号).-1.0)为中心，号号为半径的圆的外部(不包含圆周），为无界多连通区域，见图1－22.是以(-1（8)不等式/z-2+2+2]≤6,表示椭圆「-2/+「+2/=6的内部（包含椭圆），此y2椭圆以（2,0），（-2,0）为焦点，6为长轴，且可写成方程二1.这是一个单连通有界闭区0域，见图123.V3图122图 1 ~ 23(9)-2|-+21>1可写成/-2)++2)++1,两边平方得2=4x+4+y2>1+2V+4x+4++x+4x+4+y一），两边再平方，得整理得-8元-1>2V（×+2)+（由此易知×<602-415或4x*- 4>115y，知-21-2+21表示双曲线4-=1的左边分支的内部，再由15即含焦点3=-2的那部分区域（不含双曲线的左分支），是无界单连通区域，见图1-24(10)z·-(2+i)z-(2-i)≤4可写成x2+y-(2+i)(x + iy)-(2- i)(x- iy) ≤4
18复变函数习题精解精练化简得x2+y2-4x+2y≤4,即（-2)2+（y+1)≤9.可见原不等式表示以点（2，-1)为圆心，3为半径的圆及其内部，是有界的单连通闭区域，见图1一25图1-24图1-2523.证明复平面上的直线方程可写成（α≠0为复常数，c为实常数）+=c证明设z=+iy，αa+ib，则α+=c，可写成(a +ib)(x-iy) + (a -ib)(x + iy) = c即2ax+2by=c，这是直线的一般方程.反过来，对任一条直线Ax+By+C=0(A，B,C为实A+iB,c=c，便可将上述直线方程写成az数，A，B不同时为零）.我们令z=%+iyα2+z=c（α表0为复般，c为实常数）24.证明复平面上的圆周方程可写成：z+α+z+c=0（α为复常数，c为实常数）证明令z=x+iy,α=a+ib,则z + αz + az + c = x2 +y2+(a + ib)(x + iy) +(a + ib)(x + iy) + c= x3+y?+2ax +2by +c所以设平面上的圆周方程的一般形式为+y2+2ax+2by+c=0那么由上述推导知x2+y+2ax+2by+c=z++&z+c其中z=+iyα=a+ib故圆周方程可写成+αz++025.将下列方程（为实参数）给出的曲线用一个实直角坐标方程表出；(1)z = r(1 + i);(2)z=acost+ibsint（a,b为实常数);ii(4)=+含(3)z = t +(5)z=acht+ibsht（a，b为实常般）：(6)z = ae+ be-";(7)z=e(α=a+ib为复数)解令z=x+iy.(1)由z = (1+i)得，消去参数t后，化成直角坐标方程=×（直线）[*=acost,当ab0时,消去参数得直角坐标(2)z=acost+ibsint相当于参数方程=bsintxy2方程=1(椭圆）
第 1 章 雙数与复变函数19二厂x1(3)相当1,消去参数t,得 xy=1(等轴双曲线)=?(4)z =相当于1，消去参数，得xy=1（>0,>0),是等轴双曲线第一Y.象限里的那一支，[x=acht,消去参数t后,得(5)z=acht+ibsht,相当于参数方程=1(双曲线）ly=bsht9252(6)z = ae"+ be-" = acost + iasint + bcost -ibsint= (a + b)cost + i(a - b)sintr2[= (a+b),消去参数可得(22这相当于=1(椭圆）(a +b)+(a-b)=(a-b)sint=e"cosbt(7)z = e" = ela+1b)r = e .ei = e"(cosbt + isinbt),这相当于，消去参数te"sinbt后化为x+=+事实上[*= e"cosb=, tanbt=br = aretan→+ k元, & = 0, ±1,±2,-y= e"sinbt=.[arctan兰+hn]又知芸+兰=1即+=(+)即t=1把下列≥平面上的曲线映射成w平面上怎样的曲线？26.函数w=(1)x + y2 = 4; (2)y = x; (3)x = 1; (4)(x= 1)2 + y2 = 1.分析这类问题的基本解法是令z=x+iy,将函数w=z）=u+iw化成w=u（，[u= u(x,y)y）+iu（x，y）的形式，这样可获得关于u，的参数方程，再由已知的曲线L（x，w= w(x,y)y）=0,消去参数x，y后可得u，满足的曲线方程，也就得到了w平面土的对应的曲线解令z=+iy,w=uin,则w=相当于1u+iw=*+iy=+y32+[u=+y即+y（1）由于平面上的曲线满足+=4可得+==一，即w平面上的象曲线16为+=(圆周)(2)当y=α时，=或u+=0,即象曲线为w平面上的直线u+=0
20复变函数习题精解精练1+，消去参数y后得w平面上的象曲线的方程为（－(3）当%=1时，知1+y+=(圆).4(4)当(-1)2+=1时,知2+=2x,由=可得w平面上的象曲线为直-￥1线u=1227.已知映射w=2,求：(1)点=i,22=1+i,=V3+i在w平面上的象；(2)区域0<argz<在w平面上的象。分析当要获得点或区域（z平面上的）在映射w=f(z）下的象在w平面上的位置时，可将z写成x+iy或re的形式（视具体情况而定，本题令z=re），然后获得w的模及辐角的范围，就得到了z在w平面上的象。解令z=re则w==re3(1)21 = = e,则w = zi = e"=-is22 = 1 +i=V2e,则w2 = 2 = 2V2e =-2+2i;z3=V3+i=2e则w3=z=8e2=8i.(2)z= re”,则 w = 2 = e3°.由0<arg号,即0<8,可知0<argw =30<π（r>0).故区域0<argz<麦的象为区域0<agw<元.28.证明第6节定理二与定理三，定理二如果limf(2）=,A,limg(2）=B,那么(1) lim[f(z) ± g(z)] = A ± B;(2) limf(z)g(z) = AB;S(3) m晶=盒 (B × 0)g(z) =B.证明（1)e>0,由limf(z)=A,limg(z)=B,所以>0,使当0|z-zl,to时有I)-A/号及82>0,使0-z时,有|g(z)-B号.取=mint，则当z-z时，必有I[f(z) + g(z)] -(A + B)/ =I[f(z) - A] + [g(z) = B]1≤If(2)-Al+ Ig(2)-Bl<号+号= e成立.故lim[f(z）+g(z)］ =A+B.同理可得lim[f(z)- g(z)】 =A-B,(2)因为limg(z)=B,所以V>0,38>0及M>0,使当0|2-zo/<,时,有?I g(z)/ < M.又>0,因limf(z)=A,所以2>0,使当0z-2/<2时,有|f(z)A|<