高等数学教学案例汇编二零二三年七月
高 等 数 学 教 学 案 例 汇 编 二零二三年七月
目录第一章函数与极限1第1节函数.1第2节极限...5第二章导数与微分...10第1节导数.....10第2节函数的微分.12第3节瞬时变化率.14第4节函数的单调性...17第5节函数的极值与最值.18第6节高阶导数... 28误差第7节.31第8节微分中值定理的工程背景... 32第三章定积分..33第1节求总量.33第2节微积分基本公式...35第3节换元积分法...42第4节分部积分法...44第5节平面图形的面积，46第6节立体的体积....47第7节平面曲线的弧长.47第8节变力沿直线所作的功...48第9节压力与引力..50..第10节函数的平均值....52第四章微分方程....55第1节可分离变量的微分方程.55第2节一阶线性微分方程..63第3节可降阶的微分方程...67第4节二阶常系数线性微分方程...70第五章空间解析几何.....72.第1节几何应用.72第2节向量问题...74第六章多元函数微分学..76第1节多元函数的最值76
目 录 第一章 函数与极限. 1 第 1 节 函数. 1 第 2 节 极限. 5 第二章 导数与微分. 10 第 1 节 导数. 10 第 2 节 函数的微分. 12 第 3 节 瞬时变化率. 14 第 4 节 函数的单调性. 17 第 5 节 函数的极值与最值. 18 第 6 节 高阶导数. 28 第 7 节 误差. 31 第 8 节 微分中值定理的工程背景. 32 第三章 定积分.33 第 1 节 求总量. 33 第 2 节 微积分基本公式. 35 第 3 节 换元积分法. 42 第 4 节 分部积分法. 44 第 5 节 平面图形的面积. 46 第 6 节 立体的体积. 47 第 7 节 平面曲线的弧长. 47 第 8 节 变力沿直线所作的功. 48 第 9 节 压力与引力. 50 第 10 节 函数的平均值. 52 第四章 微分方程.55 第 1 节 可分离变量的微分方程. 55 第 2 节 一阶线性微分方程. 63 第 3 节 可降阶的微分方程. 67 第 4 节 二阶常系数线性微分方程. 70 第五章 空间解析几何. 72 第 1 节 几何应用. 72 第 2 节 向量问题. 74 第六章 多元函数微分学.76 第 1 节 多元函数的最值. 76
第2节偏导数78第3节方向导数与梯度.79第七章多元函数积分学..83第1节二重积分解决实际问题.. 83第2节多元函数积分在物理上的应用...86第八章级数.......88第1节无穷级数的概念...88第2节傅里叶级数90第3节杂例..94
第 2 节 偏导数. 78 第 3 节 方向导数与梯度. 79 第七章 多元函数积分学.83 第 1 节 二重积分解决实际问题. 83 第 2 节 多元函数积分在物理上的应用. 86 第八章 级数.88 第 1 节 无穷级数的概念. 88 第 2 节 傅里叶级数. 90 第 3 节 杂例. 94
第一章 é函数与极限第1节函数案例1［自由落体运动方程在自由落体运动中，物体下落的距离S随下落时间t的变化而变化，下落距离S与时间t之间的函数关系为1S一gr， 其中的为重力加速度。案例2[股票曲线］股票在某天的价格和成交量随时间的变化常用图形表示，下图为某一股票在某天的走势图，从股票曲线，我们可以看出这只股票当天的价格和成交量随时间的波动情况5.56+5.3875.49+3.9875.42+2.6525.35+1.3375.280.0075.21-1.3375.14-2.6525.07-3.9875.3075.001006670335Lhdunlahahuilalaa09:3010:0010:3011:0011:3013:3014:0015:0014:30案例3［物理实验］设某一物理现象的数学关系为y=β(t)，用实验测得t.时刻y=p(t）的值，见下表.0tt2tmtg(t)PoPP2Pm案例4［生产利润］某一玩具公司生产x件玩具将花费400+5/x(x-4)元，如果每件玩具卖48元，那么公司生产x件玩具获得的净利润是多少？解：经过简单的分析，可以得到该公司生产x件玩具获得的净利润y为y = 48x400+5/x(x-4)案例5［生产费用］某工厂生产计算机的日生产能力为0到100台，工厂维持生产的日固定费用为4万元，生产一台计算机的直接费用（含材料费和劳务费）是4250元：试建立该厂日生产x台计算机的总费用函数，并指出其定义域1
1 第一章 函数与极限 第1节 函数 案例 1 [自由落体运动方程] 在自由落体运动中，物体下落的距离S 随下落时间 t的变化而变化，下落距离S 与时间t之间的函数关系为 1 2 = , 2 S gt 其中 g 为重力加速度． 案例 2 [股票曲线] 股票在某天的价格和成交量随时间的变化常用图形表示，下 图为某一股票在某天的走势图． 从股票曲线，我们可以看出这只股票当天的价格和成交量随时间的波动情况． 案例 3 [物理实验] 设某一物理现象的数学关系为 y (t) ，用实验测得 i t 时刻 ( ) i y t 的值，见下表． t 0 1 t 2 t . m t (t) 0 1 2 . m 案例 4［生产利润］ 某一玩具公司生产 x 件玩具将花费 400 5 x(x 4) 元，如 果每件玩具卖 48 元，那么公司生产 x 件玩具获得的净利润是多少？ 解: 经过简单的分析，可以得到该公司生产 x件玩具获得的净利润 y为 y 48x 400 5 x(x 4) ． 案例 5 ［生产费用］某工厂生产计算机的日生产能力为 0 到 100 台，工厂维持 生产的日固定费用为 4 万元，生产一台 计算机的直接费用(含材料费和劳务费) 是 4250 元．试建立该厂日生产 x台计算机的总费用函数，并指出其定义域
解：设该厂日生产x台计算机的总费用为y（单位：元），则y为日固定费用和生产X台计算机所需总费用之和，即F(x)=40000+4250x由于该厂每天最多能生产100台计算机，所以定义域为(x|0≤x≤100,xeN）.案例6［飞行距离］一架飞机A中午12时从某地以400公里/小时的速度朝北飞行，一小时后，另一架飞机B从同一地点起飞，速度为300公里/小时，方向朝东.如果两架飞机飞行高度相同，不考虑地球表面的弧度和阻力．问这两架飞机在时刻(飞机B起飞的时刻为0)相距多远？解：设两架飞机在t时刻相距ykm，由于两架飞机分别向北向东飞行，所以时刻两架飞机所在地点的连线和各自飞行的路线组成一个直角三角形，如右图所示．t时刻飞机B飞行的距离B为300t，飞机A早出发1小时，飞行的距离为400t+1)，由勾股定理，有y=/400°(++1)+300°°，其中1≥0.案例7［汽车租赁】一汽车租赁公司出租某种汽车的收费标准为每天的基本租金200元加每公里收费15元.（1）试建立租用一辆该种汽车一天的租车费（单位：元）与行车路程x（单位：km）之间的函数关系；(②）若某人某天付了400元租车费，问他开了多少km？解：（1）设租用一辆该种汽车一天的租车费为y（单位：元），则y为每天的基本租金200元和当天行车x公里所收费用15x之和，即y=200+15x(2)将400代入上式，得400=200+15x，解之，得x~13.3（公里）.案例8【单三角脉冲］脉冲器产生一个单三角脉冲，其波形如下图所示，电压U与时间(1≥0)的函数关系式为一分段函数2E,re(o.1-t.7[-2E(-t), te[§,t)U=1-T20,te(t, +oo)2
2 解：设该厂日生产 x台计算机的总费用为 y（单位：元），则 y为日固定费用和 生产 x台计算机所需总费用之和，即 F(x) 40000 4250x , 由于该厂每天最多能生产 100 台计算机，所以定义域为{ x | 0 x 100, x N }． 案例 6 [飞行距离] 一架飞机 A 中午 12 时从某地以 400 公里/小时的速度朝北飞 行，一小时后，另一架飞机 B 从同一地点起飞，速度为 300 公里/小时，方向朝 东．如果两架飞机飞行高度相同，不考虑地球表面的弧度和阻力．问这两架飞机 在时刻t (飞机 B 起飞的时刻为 0)相距多远？ 解： 设两架飞机在t时刻相距 y km，由于两架飞机分别向北向东 飞行，所以t时刻两架飞机所在地点的连线和各自飞行的路线组 成一个直角三角形，如右图所示．t时刻飞机 B 飞行的距离 为300t ，飞机 A 早出发 1 小时，飞行的距离为400(t 1) ，由勾股定理，有 2 2 2 2 y 400 (t 1) 300 t ，其中t 0． 案例 7 [汽车租赁] 一汽车租赁公司出租某种汽车的收费标准为每天的基本租金 200 元加每公里收费 15 元． (1) 试建立租用一辆该种汽车一天的租车费（单位：元）与行车路程 x （单位： km）之间的函数关系； (2) 若某人某天付了 400 元租车费，问他开了多少 km? 解： (1)设租用一辆该种汽车一天的租车费为 y（单位：元）, 则 y为每天的基 本租金 200 元和当天行车 x公里所收费用15x 之和，即 y 200 15x ． (2)将 400 代入上式，得 400 200 15 x ， 解之，得 x 13.3 (公里) ． 案例 8 [单三角脉冲] 脉冲器产生一个单三角脉冲，其波形如下图所示，电压 U 与时间t(t 0)的函数关系式为一分段函数 2 , [0, ] 2 2 ( ), [ , ] 2 0, ( , ) E t t E U t t t ．