高等代数建模案例汇编晋中学院数学系2021年5月
高等代数建模案例汇编 晋中学院数学系 2021 年 5 月
目录前言.案例一，“活用”行列式定义。案例二．Euler的四面体问题+1案例三.赢得矩阵.案例四.矩阵的乘积在有向图问题的应用.6案例五交通网络流量分析问题案例8案例六。配方问题12案例七．利用向量的线性相关性求根式方程的解15案例八．利用向量的线性相关性求不定积分16案例九．投入产出问题，17案例十：平板的稳态温度分布问题20案例十一．CT图像的代数重建问题22案例十二.化学方程式配平问题25案例十三.互付工资问题27案例十四.平衡价格问题.30案例十五.电路设计问题33案例十六.平面图形的几何变换.36案例十七．压应用矩阵编制HiII密码.39案例十八．显示器色彩制式转换问题案例六42案例十九．人员流动问题.44案例二十：金融公司支付基金的流动47案例二十一。选举问题50
目 录 前言.1 案例一.“活用”行列式定义.2 案例二. Euler 的四面体问题.3 案例三. 赢得矩阵.5 案例四. 矩阵的乘积在有向图问题的应用.6 案例五. 交通网络流量分析问题案例. 8 案例六. 配方问题. 12 案例七. 利用向量的线性相关性求根式方程的解. 15 案例八. 利用向量的线性相关性求不定积分. 16 案例九. 投入产出问题. 17 案例十. 平板的稳态温度分布问题. 20 案例十一. CT 图像的代数重建问题. 22 案例十二. 化学方程式配平问题. 25 案例十三. 互付工资问题. 27 案例十四. 平衡价格问题. 30 案例十五. 电路设计问题. 33 案例十六. 平面图形的几何变换. 36 案例十七. 应用矩阵编制 Hill 密码. 39 案例十八. 显示器色彩制式转换问题案例六. 42 案例十九. 人员流动问题. 44 案例二十. 金融公司支付基金的流动. 47 案例二十一. 选举问题. 50
...52案例二十二．简单的种群增长问题...55案例二十三．一阶常系数线性齐次微分方程组的求解附录：提供了一些可供练习和参考的案例
案例二十二. 简单的种群增长问题. 52 案例二十三. 一阶常系数线性齐次微分方程组的求解. 55 附录：提供了一些可供练习和参考的案例
前言高等代数是数学与应用数学专业的一门重要的基础课，它对学生思维能力、逻辑推理能力和运算能力的培养，以及后续课程的学习起着非常重要的作用。但是这门课程比较抽象，概念多，理论证明比较麻烦，对刚上大学的学生来说很难接受。学生普遍反映高等代数难学无用，针对多年的教学实践，我们在教学中针对不同的内容设计一些教学实例，力求接近生活实际又能体现代数的作用，让学生体会到，其实高等代数与我们的生活密切相关，可以为我们解决实际中的许多问题。在学习高等代数的过程中，大家会发现代数在生活和实践中都有不可缺少的位置。通过具体应用的实例教学，学生接受知识更快，并且有了主动探究问题实质的动力和兴趣，对于枯燥定理的学习也有了更深层次的理解。在项目实施与开展的过程中，结合教学与实践，项目组成员共同努力下，收集了二十多个容易理解的案例.此项工作仍然在继续而且会一直继续下去，并将其推广到其他数学课程的教学中去，通过实践教学，为适应社会需求，培养应用型人才奠定一些必备的基础，尽我们的微博之力。一些案例已经逐步融入课堂教学中，通过案例的引入，大大提高了学生学习高等代数课程的兴趣，激发了学生求知的欲望，也是与传统教学相比之下，教学创新的一大亮点，很受师生欢迎，当然这些案例和各类数学建模竞赛的题目相比，确实显得简单，但对于初次学习高等代数或线性代数的学生来说，如果学生能通过这些案例加深对高等代数以及线性代数基本概念、理论和方法的理解，培养数学建模的意识，大胆进行创新创业项目的申报与开展，那么我们教改项目《将数学建模融入高等代数教学及推动数学教学改革》的初步的目的也就基本达到了。近几年来全国已开始了按这种方向和思路的数学教学尝试，特别是借助于计算机及数学软件技术的数学建模教学与竞赛活动深受广大学生、教师和社会的欢迎，也说明了把数学建模的思想和方法融入数学教学确实是一种行之有效的素质教育方法。1
1 前 言 高等代数是数学与应用数学专业的一门重要的基础课,它对学生思维能力、 逻辑推理能力和运算能力的培养,以及后续课程的学习起着非常重要的作用。但 是这门课程比较抽象,概念多,理论证明比较麻烦,对刚上大学的学生来说很难接 受。学生普遍反映高等代数难学无用,针对多年的教学实践,我们在教学中针对不 同的内容设计一些教学实例,力求接近生活实际又能体现代数的作用,让学生体 会到,其实高等代数与我们的生活密切相关,可以为我们解决实际中的许多问题。 在学习高等代数的过程中,大家会发现代数在生活和实践中都有不可缺少的位 置。通过具体应用的实例教学,学生接受知识更快,并且有了主动探究问题实质的 动力和兴趣,对于枯燥定理的学习也有了更深层次的理解。 在项目实施与开展的过程中，结合教学与实践，项目组成员共同努力下，收 集了二十多个容易理解的案例.此项工作仍然在继续而且会一直继续下去，并将 其推广到其他数学课程的教学中去，通过实践教学，为适应社会需求，培养应用 型人才奠定一些必备的基础，尽我们的微博之力。一些案例已经逐步融入课堂教 学中，通过案例的引入，大大提高了学生学习高等代数课程的兴趣，激发了学生 求知的欲望，也是与传统教学相比之下，教学创新的一大亮点，很受师生欢迎， 当然这些案例和各类数学建模竞赛的题目相比, 确实显得简单. 但对于初次学习 高等代数或线性代数的学生来说，如果学生能通过这些案例加深对高等代数以及 线性代数基本概念、理论和方法的理解, 培养数学建模的意识,大胆进行创新创业 项目的申报与开展，那么我们教改项目《将数学建模融入高等代数教学及推动数 学教学改革》的初步的目的也就基本达到了。 近几年来全国已开始了按这种方向和思路的数学教学尝试，特别是借助于计 算机及数学软件技术的数学建模教学与竞赛活动深受广大学生、教师和社会的欢 迎，也说明了把数学建模的思想和方法融入数学教学确实是一种行之有效的素质 教育方法
案例一“活用”行列式定义某市打算在第“十二”五年规划对三座污水处理厂进行技术改造，以达到国家标准要求。该市让中标的三个公司对每座污水处理厂技术改造费用进行报价承包，见下列表格（以1万元人民币为单位）：在这期间每个公司只能对一座污水处理厂进行技术改造，因此该市必须把三座污水处理厂指派给不同公司，为了使报价的总和最小，应指定哪个公司承包哪一座污水处理厂？设这个问题的效率矩阵为，[192416D=17 20 15192117根据题目要求，相当于从效率矩阵中选取来自不同行不同列的三个元素“和”中的最小者！从行列式定义知道，这样的三个元素之共有31=6(项)，如下：[19 2416[192416192416172015]D,=17 [20 15D=172015D=[19 21 [17][1921[17][19 2] 17①19+20+17=56②19+15_21-55③24+17+17=58[192416][192416[192416]17 20 [152015172015D17DsDe=[1921]17[19] 2117192117④16+17+21=5424+15+19=58@15+20+19=55由上面分析可见报价数的范围是从最小值54万元到最大值58万元。由④得到最小报价总数54万元，因此，该城市应选定④即公司I污水处理厂C公司Ⅱ污水处理厂A公司Ⅲ污水处理厂B2
2 案例一“活用”行列式定义 某市打算在第“十一”五年规划对三座污水处理厂进行技术改造，以达到国 家标准要求。该市让中标的三个公司对每座污水处理厂技术改造费用进行报价承 包，见下列表格(以 1 万元人民币为单位)．在这期间每个公司只能对一座污水处 理厂进行技术改造，因此该市必须把三座污水处理厂指派给不同公司，为了使报 价的总和最小，应指定哪个公司承包哪一座污水处理厂? 设这个问题的效率矩阵为， 根据题目要求，相当于从效率矩阵中选取来自不同行不同列的三个元素“和”中 的最小者!从行列式定义知道，这样的三个元素之共有 31=6(项)，如下： 由上面分析可见报价数的范围是从最小值 54 万元到最大值 58 万元。由④得到最 小报价总数 54 万元，因此，该城市 应选定④即