21第1章复数与复变函数M+AT;因gg(z) = B,所以 6 >0,使当0 /≥ -z0l<6, 时,有|g(2) - Bl<EM+IAT:现取=minl8,2,8,,则当02-z<时，必有I f(z) - g(z) - AB/ = I f(z) : g(z) - Ag(z) + Ag(z) - AB≤If(z) -Al Ig(z)I+ IA/ - Ig(z) -Bl<m+iat'm+ IAl'm+it =e故limf(z)g(z) = AB(3)因为limg(z)=B(B0),所以日>0及M>0,使当0<z-zl<,时,M>IB1g(z)/ >.>0,因为limf(z）=A,limg(z)=B,所以8>0,使当0[-zo/<82时,有BeIF() - AI< 2(TAI+BT)0使当时，有BIg(z) - BI<2(IAP+TBT)取=min828则当02-2时，必有I Bf(2) - AB + AB - Ag(z)If(z)Ag()TB.g(2)[B/ I f(z) - A[ + IA/Ig(z) - BITB//g(2)BEB2[B1-2(1AP'TB1) + 1A1 21Af'Tb1)B22lim4故g=B定理三函数f（z）=u（，y）+iu（，y）在zo=xo+iy处连续的充分必要条件是：u（，y）和（x，y）在点（，yo）处连续证明f(2）=u（,y）+i(x,y）在z=x+iy处连续，那么(z）在z处有定义且limf（z）=f（z）,这就意味着u（x，y）与（x，y）在（oy）处有定义且limu(x,y) = u(xg,yo)*lim(r,y)=(xo,yo)Y这就说明了u（，）与（，）在（.y）处连续反过来，由于u（xy）与x，y）在（，yo）处连续，自然有
22复变函数习题精解精练limu(x,y)=u(xo,yo)+oylim(x,y) = v(xo,yo)oim(z) =(pim,[u(xy)+ (,y)于是)u(s,y) + d,mnp(s,)= (s.y)0.3I.= u(xo,yo) + in(xo,yo) = f(z)故《z）在z处连续29.设函数（z）在2连续，且z0）￥0,那么可找到z的小邻域，在这个小邻域内（z）￥0证明由于f(）￥0,因此|F(z)>0.又因为f(z)在点z连续，所以对e=00,使得当2时，有[(z) -(z)/ 80 =15(20)/成立,2)-()()-(z,故z)()号(0,从而=即存在z的邻域，在这个邻域内（z）0.30.设limz）=A,证明(z）在ze的某一去心邻域内是有界的，即存在-个实常数M>0,使在z在某一去心邻域内有|）≤M证明因为limfz）=A，所以对于=1,0.当0-l时，有[(2）-A|1,取M=A|+1,则有I(z)M成立，要证的不等式|(2)|≤M中等号在1z）-A/=1时成立，（三）（z0)，试证当→0时，(2)的极限不存在31.设(2)=（量此类问题-一般只需找到两条不同的趋向于zc的路径，使得沿这两条路径（2）收分析敛于不同的值，这就说明了极限的不存在性，证明令z=x+iy，取第一条路径为实轴，即x兰0,=0,于是1(_)= 0)-(取第二条路径为直线=，于是l(x+xix-xi)limf(z)= lim2i（3-xix+xi1-可见，当z-0时，f(z）的极限不存在.32.试证argz在原点和负实轴上不连续证明设(）=argz，当z=0时，f(0)无意义，故(z）=argz在原点处不连续。下面在负实轴上任取一点zo，于是由agzo=元不难看出，当在上半平而趋向zo时，argz收敛于元.但当z在下半平面（不含负实轴）趋向z。时arg收敛于－元，即
23第1童复数与复变函数lim f(2) = lim argz = ,lim f(z) = lim argz = -3oasno故（z）=argz在负实轴上的任点处都不连续，同步训练题1.单项选择题5,arg(≥ - 2) =（1)设复数z满足arg(z+2）=元,那么z=（.6享+C.-++4A. -1 +/3iB.-3 +iD. ~1+i(2)已知 z :"，则“+22"_2的值为（).c.iA.-iB.1D.-1).(3）方程Imz1所代表的曲线是（A.圆周B.椭圆C.双曲线D.抛物线）是圆.（4）下列方程所表示的曲线中，（2-1A./z~2+1z+21=5BrC. (zl + Re(z) = 1D.Re(z) = 2（5)下列函数中都有f(0）=0,则（）在原点不连续，Im(2)[Lm(≥) ]?B.f(z) :A.f(z) =(20)一(2± 0)Iz[Im(2)]?Im(z)C.f(z) =(2*0)D.f(2) =(20)2/2Tz2(6)己知方程2-122-z+1=0,则（）不是它的根，A.iC.1B. -iD. -12.填空题(1)设= (3+4)(-1+i),则12/=(2i)(1 +2i)(2）一复数对应的向量按顺时针方向旋转号nr后，对应的复数为-/3+i,则原复数为zr1+i的三角表示式为,2=/3-i,则2122的指数形式为(3)设z)=12，271+i将圆周+=4映成w平面上的曲线(4)映射=Z2+32-2-3(5) lim21+1a2+b3.设|2|=1,试证:1at bz
24复变函数习题精解精练4.如果z+z-=2cost,其中=argz，试证明z-z-=2isinnt.5.若|21|=[2|=（a],试证明:ag二2=号ag号angZa-z1Z16.解方程:(1)(1 + z)= (1 - z);(2)z2- 4iz - (4 _ 9i) = 0.7.设a,b,c,d为实数,试求二次方程x+（a+ib)x+（c+id）=0至少有一实根的条件.8.已知2=8求2+22+22+2的值9.用图表示，满足下列条件的点z的存在范围，(1)(2)Re(z) < 1;(3) / z/ + Re(2) < 1;(4)2 + 2 + (1 + i)z + (1 - i)= + 1 = 0.10.求下列平面点集在指定映射=z）下的象：(1)w=+2z,①x=0;?arg=元;双曲线Re(2）=1,则|≥|=R(R>0)的象是w平面上怎样的曲线.(2)w=z21 + 2 + + z11.证明：若limz，=zg,则lim=Z0n0,Z=O12.令(z)&× 0.试讨论()在=0处的连续性。云4N213.证明：在条件a>，>>a>0下,P（z)=g+az+*+z=0在闭圆[≤1上无根同步训练题答案1.单项选题解(1)A(2)B(3)C(4)B(5)D (6)B2.填空题(0 in l)5.号(圆）(5)2解（1)2(2)1-/3i(3)2e(4)u2 + 02 = -I az + b13 = (az + b) (a2 + b) = (az + b)(αz + b)3.证明=ai2z+bb+abz+abz[a +b2/2=(a + bz)(a + b)=(a+bz)(a + b元)=aa+abz+abz+bbz由=1可得忘=故有z+2=+z从而az +blaz + ba+ bzIa + bz/4.解令2=re,于是z+2- = re"+1e"=(r+lJcost+ilr--)sint = 2cost
第125复数与复变函数所以0从而1,于是=e那么z"- z"" = ein- e-int = (cosnt + isinnt) -(cosnt - isinnt) 2isinnt5.证明由z,|=|z2「=|3[,说明z1,22,z3同在圆/=/上（如图1－26所示），令2] = re1 ,22 = re ,33 = rei0~元<≤,k=1,2,3,于是g = arg2 - agz; = 02 ~ 0.argZ3 - 22 = re(1 - ei(0-8g))23 - z1 = res(1 - ei(c,-6g))图 1 - 2623 - 22 - 1 - eoz-0)1 - cos(82 -6,) - isin(62 -0))所以1-en-8)=1-cos(0,-0)-isin(0,~,)23-2182 - 63 . (- i) .02-0302-032.sinisin222a0.=639,6301-2.sinISIT22282-03sin02-8128,-6sin282-81133-2922故argarg22Z3 — Z16.解（1)由(1+)’=（1-2)",可见=1不是方程的根，于是可得(1.不妨,则w=1,那么方程w=1的根为=，=0,1,2,3,4.令z=(cos+令W=isinの），那么W -I+==1+ rcoso + irsing11-rcosg-irsino由=1知/|=1,即|1+zl=[1-z,也就是(1 + rcoso)2 +(rsino)2 = (1 - rcoso)2 +(- rsing)2整理得rcos0,可知0或cos0.cos?=0等价于=或-，可见当=0时z= 0, 1± = 1,故(1+)厂=1.当6=晋时，有z=r(cose+ isino)=ri