11第1章复数与复变函数=,可见与关于实轴对称；27A11与123,即-关于虚轴对称，MN1下面我们来讨论与的几何位置关系设P是单位圆外一点，过P作单位圆的切线，90切点为T连接OT，OP，且过T作OP的垂线，垂足为Q（如图1-2所示），那么我们称P，Q两点关于单位圆周对称，且OQ，OP与轴正向夹角相等，它们的长度有关系式0Q=，这是因为OTQ图1-2△OPT,且 OT = 1而由前面的讨论知与≥有如下关系：它们的辐角相等，！！的模等于z的模的倒数.即1z272/=1212 = T2]-关于单位圆对称；当在单位圆上时，与一从而可知当z不在单位圆上时，2与一重合.于是复平面上－2，z，一2，十，1，一一的位置如图1-3所示Z21z/<11[2]>1ty111211(b)(a).图1-318.已知两点2，与2（或已知三点2)，2，3）问下列各点位于何处？(1)z =(z1+);(2)=，+（1-）2，其中为实数；(3)z =(Z +2 + )分析本题在求解过程中要用到解析几何的知识，这是因为复数是与平面向量一一对应的
复变函数习题精解精练12解（1)设z+iy,z=2+iy2,=%+iy，则根据2=(z +22)=(x +2)+i.(y +2)( + 2),y = （+2)，所以是以z,和为端点的线段的中点.有天(2)设z1 = ×+iy1,22 = x2 + iyz,z=x+iy,则根据2 = Az) + (1 - ^)zz = X(xi + iy1) +(1 - a)(x2 + iy2)= [x + ^( - x)]+ ily2 + a( - )]有=+（)，=+（-)，所以在所确定的直线上，且实数表示[ z 22 ]（如图1=4）线段AC与BC的长度比，即入二z, - 22(3)设z1= x +iyt,2 =x2 +iy2,2= +iy3,z = +iy,则根据(z1 + 2 +) =( +*2 + *)+i·( + *+)=有(y +y2+ys)(x + ×2 + x), y =故位于以z1，z2，z3为项点的三角形的重心处(如图1～5).事实上如图1-5，四边形PQBR为平行四边形，C，D分别为边PQ，BR的中点，A是对角线的交点，E是QD与PB的交点，由C，D分别是PQ，BR的中点及PQBR为平行四边形，知RC/QD，从而知PM=ME及ME=BE.这是因为CM，DE分别是△PQE和△MBR的中位线，从而知向量 BP = [(z3 - 21) + (z2 - z)]-2（z+z2+23）.又z是△PQR的两条中线PA与RC的交点，即z是△PQR的整理可知2重心yy10XX1X2图1-5图1=419.设z122，三点适合条件z+z2+23=0,1z=|z2|=123=1,证明21，22，23是内接于单位圆||=1的一个正三角形的顶点
13第1章 复数与复变函数分析本题是运用复数的运算知识解决平面几何问题的典型例题之一，在解决问题时要充分利用已y知条件和平面几何中的相关知识，对于本题，由于[2,|=[22|=12|=1.显然1,22,2在单位圆1=1上，故只需证△是正三角形，而证明单位圆上的三角形是正三角形将有多种方法，如证三边相等、三个圆心角相等、三条中线（或高）相等，等等，故此题解法众多，请读者自行研究z3i证明如图1-6,△12223的三边长分别为[21-2]，22－3]，23—,]，因此只需证明它们图1-6相等即可由已知1+2+=0,得21+2±-23，又|-31=13=1所以+z2- 23/ = 1.同理可得|21+3「=「23+22|=1,又[21 + 22 /2= (21 + 22)(, + 2) = 21 + 22 - 22 + 21 2 + 32 + z1=/3/2+2/2+222+22·=1故有2+2-=-另一方面[z) 22 / = (21 Z2)(三1 - 22) = 21 + 元 + 2 + 2 - (21 · 2 + 22 21)=z/3 + [z2 /2(z) · Z2 + 22 · 2) = 3即|2-2|=3.同理可得|22－=|23-21]=3.三边相等的圆内接三角形222z3是圆内接正三角形20.如果复数 =,32,2,满足等式多二=，试证明[2 -2=[z ~2,] =-Z2-Z73-并说明这些等式的几何意义证明由所给等式可得22-21-[-2-12 -2° = [222. [2 - 2](1 - 1)Z3- z172再由2-2-1-22-1-3-3-2:2-12-21-z2z3-Z122 - 233 - 1 122-23Z3-zZ-2a- |22 - 23/2 = [21 - 2 : 2g - 21 ](1 - 2)式(1-1)式(1-2)相除得|21-23[3=z2-23[3,故2,-3=「2-3/,再由式(1-2)知|2-2=22—21,从而有结论z2-3/=2221=23-这说明,当21 2，2。满足多=二望时,以 2, 2,2 为顶点的三角形是等边三角形。23 - 21 22 - 2321.指出下列各题中点2的轨迹或所在范围，并作图：(1)/z - 5= 6;(2)/+2i| 1;(3)Re(z + 2) = - 1;(4)Re(iz) = 3;(5)/z +i = 1 z-il; (6)(z +3/+ /z + 1/ = 4;
14复变函数习题精解精练(9)0 < arg < 元;8(7)Im(z) ≤2;1(10)arg(z - i) =A解设=%+iy.(1)由|z-5/=6,得|2-5/=V(α-5)2+=6,所以轨迹是以（50）为圆心，6为半径的圆周，见图1-7.(2)由/z+2i=+（+2)=1得的轨迹是以（0，－2）为中心，1为半径的圆周及其外部区域，见图18.图1-7(3)由2+2=+2+iy，得Re(+2）=-1,相当=~3,即z的轨迹为直线×=-3，见图1-9.ty-图1-9图1-8（4）由iz=i（-iy）=y+ix，Re(iz）=3可得y=3.所以点z的轨迹是直线y=3,见图1-10.(5）由+il=「z-i可得+（+1）=+（=1),解得=0.所以满足方程z+=zil的点的轨迹是实轴.（6)由于|2+3表示z与复数-3的距离，所以|z+3+「z+1=4表示到复数-3和复数-1的距离之和为4.故z的轨迹为以（-3,0）,（-1,0)为焦点，4为长轴的椭圆，令z=#+iy,|z+3/+ |z+1/ = 4化为(x+2).1.故这个椭圆的中心是（2.0），长半轴为42,短半轴为/3,见图1-11.（7)Im（z）≤2相当于≤2z的轨迹为直线=2及其下方区域，见图1-12.(8)由-3-x-3)+51得(-3)+≥（×-2)+，化简得≈≤号，V(x- 2)2 +y及其左方区域，见图1=13.故的轨迹为直线
15第1章复数与复变函数Yt3y=33O0图 1 - 10图1~11少y=2图1-12图1-13知arg=0,可得为轴正向上的点（正实轴);argz=元，可得为(9)由argz=arctan轴负向上的点（负实轴）.所以0<argz<为上半平面（不含实轴），即的轨迹为上半平面，见图1-14.(10)由 arg(z - i) = ag(x +(y -1)i)=,得tan[arg(z -i)] = 1(x>0,y-1>0)即=1,故arg(-i）=相当于1=0（×>0,>1),那么的轨迹是以(0,1）为起点的射线y-%-1=0（×>0）,见图1-15V=0图1-14图 1 - 1522.描出下列不等式所确定的区域或闭区域，并说明它是有界的还是无界的，是单连通的还是多连通的？