6复变函数习题精解精练(4)设 1 = % + iy1,22 = *2 + iy2,则() - (mt) - 3*y2 +1y-y+iy/x+y2x +y2ia y2-yy-222++y2y2,x+y2X2 -iy2x2 + y2*2+iy2+-2+2+y()-所以-(5)设zx+iy,则=x-iy，（)=三=元+iy,故=z(6)设z=x+iy，则云=%-iy，从而(z+ z) =(α + iy + x iy) =·2x = = Re(2)2去( -2) [*+iy-(-ig) -(2ig) = y = Im(2)结论得证。5.对任何z，=1z13是否成立？如果是，就给出证明；如果不是，对哪些2值才成立？解对任何复数=+i易知=-+2xyi,=+于是，由=2可得+2xyi=+，比较两边的实部、虚部，有[x-y=x+y?l2xy=0可得=0，为任意实数.故对任何复数z，=12不成立；只有当z为实数（虚部为零）时，等式？=「z才成立.6.当||≤1时，求|z+a|的最大值，其中n为正整数，a为复数因为2！=|z！，由三角不等式及[≤1可知解1z+a≤l-+lal≤+a即|+al的最大值为+lal.此时=e7.判定下列命题的真假：(2)若为纯虚数，则z云；(1)若为实常数，则=;(4)零的辐角是零；(3)i< 2i;(5)仅存在一个数 z,使得二=- z;(6) [ z1 + 22 / = [z, / + [22 / ;(7)izi（1）真.因为实数的共轭复数是它本身，所以若c为实数，则必有c=c.解(2)真.若为纯虚数，则可设=iy（0),而=iy.由于0,所以iy≠-iy，即ZE.（3）假.因为复数不能比较大小（4）假.因为复数0的辐角是不确定的
7第1章复数与复变函数(5)假.由1z可得-1,从而可取±i两个值(6)一般不戒立.由三角不等式|2+z2|≤|,|+||可知，等号仅当 argz1—arg2：2k元（k=0,±1，±2,.…)时成立.1(7)真.因为iz=i·=-i8.将下列复数化为三角表示式和指数表示式(1)i;(3)1 +V3i;(2)_1;(4)1 - cosp + isinp (0 ≤ P≤元);(cos5@+isin5g）2i(5) -1+7i(6)(cos3@- isin3)3分析先将所给复数化简戒形如+iy的形式，再来确定模，及辐角主值arg，最后写出它的三角表示式及指数表示式，+isin号.i的指数表解（1)r=lil=1,arg(i）=号.所以i的三角表示式为i=cos示式为i=e2(2)r=1-1|=1,arg(-1）=元.所以-1的三角表示式为1=cos元+isin，-1的指数表示式为-1=V3=，所以1+/3i的三角表示式为1+/3i(3)r = 1 + /3il = 2,arg(1 +V3i) = arctan1=3=2(cos+isin号）.1+V3i的指数表示式为1+V3i=2ez。(4)r=/1-cos@+isinpl=(1-cosg)2+(sing)24sin?2=2sin号=V2-2cosg(09元)892sin-*cos-2sing2arg(1 - cosp + isinp) = arctan arctan1-cose2sin?sin一元见=arctan22故1-cose+isinp的三角表示式为+ isin “)1 - cosp + ising =2sinCOS21-cosp + ising的指数表示式为1 -cosp + ising=2sin号·e2i2(-1-)- 2_2i - 1-i则r = (1 -il =/2,arg(1-i) =(5)因为~1+1 =(-1+)(-1-) =22iaretan(-1)-，所以_2i- = V2[co(-)+ isin(-)]:：的三角表示式为一A+i2i- - /2e.：的指数表示式为.el0pi(e'ei)2+(cos5g+isin5p）(6)因为e，从而知其三角表示式为~9gi(e-39j3(cos3p-isin3)3
8复变函数习题精解精练(cos5p+isin5)?=cos19p+isin19g;其指数表示式为(cos59+isin5g） (cop - ling) - eprm.（cos3-isin3）9.将下列坐标变换公式写成复数形式：[x=xycosa-ysina[=+]（1)平移公式（2）旋转公= y + b,= x,sinα +yicosa解（1)令z=+iy,z=+iyci=ai+ibi,则原式相当于z = x + iy =(xi + a)+i(y + b,) =(x +iy)+(ai+ib,) = z + ci故平移公式的复数形式为2=21+C1.(2)令z=+iy，=+iyi,c=cosα+isinα，则由原式有z = + iy = (xcosa - yisina) + i(xisinα + yicosa)= x,(cosa + isina) + y,(icosa - sina)± x,(cosα + isinα) + iy,(cosa + isina)=(x + i)(cosα + isina) = z· c = z-e故旋转公式的复数形式为z=（cosα+isinα）或z=·ei10.个复数乘以-i,它的模与辐角有何改变？解设z=e,而-i=e,则有(-i)z=ei，rere(-),即复数的模的大小不变而辐角减小号，11.证明：21+22/2+222|2=2(2/2+22/2),并说明其几何意义分析可将复数设成+i的形式再进行计算，但当有复数模的平方时，还可用共轭复数的性质进行运算，下面用此法进行证明，证明[21+2212+[21-22]3= (21 + 22)(21 + 22) + (21 - 22)(z1 - 22) = (21 + z2)(z1 + z2) + (z1 - 22)(z1 - 22)=+2+32+22-+-2-2+2= 2(21 ~ z) + 22 ~ 22) = 2(/ z, /2 + [z2 /3)几何意义为：以21，22为邻边的平行四边形的两条对角线长度的平方和等于它相邻两边长度平方和的2倍12.证明下列各题：P可以化为X+iY的形式,其中X与Y为具有实系数(1)任何有理分式函数R(z）=Q(z)的与的有理分式函数；(2)如果R(z）为(1)中的有理分式函数，但具有实系数，那么R(）X-iY.(3）如果复数a+ib是实系数方程ao2"+ai2-1+an-1z+a=0的根，那么a-ib--也是它的根，证明(1)设z=+iy,有P(z) = P,(x,y) +ip2(x,y), Q(2) = Q(x,y) +iQ2(x,y)则P（，y),Q.（,y)（i=1,2）是%，的实多项式，又有R(z) = B = Pi(x,) + iP(x,)z)=(x,y)+iQ（xy)
第1章复数与爱变函数91[(P,Q1 + P2Q2) + i(P2Q: - P,Q2)]Qi+Q2P,Q1 + PQ2YPo-Pro令Q + Q2Q + Q2可见X，Y都是具有实系数的，y的有理分式函数，并且R（）=X+iY(2)设P(2),Q(2)是实系数多项式,则关系式P(2)=P(z),Q(2）=Q(z)成立这是由于对于任一实系数多项式P(z) = ao2 + a12-+ + a22--2 +* + an-1z + a.其中ao,a,",α为实数，从而a=a=0,1,2,",n),因此P(2) = (aoz" + arz.-1 ++ an-12 + a.)=ao2+a12-1 ++an-12+an= ao" + az-1 +*.+ an-1z + an = P(z)0 - - () - RC) - (X+i) - X -iY从而R(z) =(3)令(z）=ao+a1z"-1++an-1z+an，由题设知P(α+ib）=0,再由(2)知P(a-ib)=P((a+ib))=P(a+ib)=0=0从而知α-ib也是方程P(z）=0的根13.如果z=e，证明：(1)2+→I=2cosnt;(2) -=2isinnt证明电z=e易知=（el）"=cin=coent+isinnt则1 = e-in = cosnt - isinnt21所以(1)A= cosnt + isinnt + cosnt - isinnt - 2cosntZR(2)= cosnt + isinnt - cosnt + isinnt = 2isinnt14.求下列各式的值：(1)(/3 - i)5;(2)(1 +i)%;(3) =1;(4)(1 -i)1/3分析一般先将所给的复数写成指数表示式或三角表示式形式，然后再进行乘方或开方运算，解（1)V3i=2e-，所以(3 - )* = 2 · e-m = 32[ cos( - 号元) + isin( -元)] = - 16/3 - 16i(2)1+=V2(cos+isin）=V2e，所以（1+i)°=(V/2)=-8i(3）-|=e",所以Y-1 = ei = cos + 2k + isin " + 2k(k = 0,1,",5)663即6个值分别是六-号+212V312+ii;-i
10复变函数习题精解精练(4)1 - i = V2[cos( -) + isin( -)] = V2e-种,所以(1 - i) = 2h)(k = 0,1,2)即(1-i)的值分别为wo =2e2(cos-isin)(o+ is)=2(c+isin)15.若(1+i)"=（1-i)",试求n的值解由于（1+i)”=[2(cos+isin]"=(V2e）"=(2)"e(1 - i)"= (2[cos(-)+ isin(-)1"=(/2e-)" = (2)e-cosT2又知(1+i"=（1i）"，所以e=e，即墅=1.有cos+isin=1,得[sin 0从而n=4#,k=0,±1，±2,16.（1）求方程z+8=0的所有根；（2）求微分方程y+8y=0的般解解（1)由+8=0得2=（-8),而-8=8e"所以z = V8e" = 2etgk!(h = 0,1,2)即方程3+8=0的所有根为zo=2e3=2(cos号+ isin号)=1+V3iZ1 = 2e" = 2(cosπ + isinr) = -- 22 = 2e= 2(os号元+ isin号)= 1 -/3i(2）微分方程+8y=0的特征方程为3+8=0,由（1)的结果可知方程+8=0有三个互异的根：1+V3i，2,1-3i,所以方程y"+8y=0有三个线性无关的特解1 = eli+/3)* = e*(cos/3x + isin/3x), y2 = e-2rys = e0-3)* = e(cosV3x - isin/3x)从而可得原微分方程三个线性无关的实数特解为ecosy3%，e-2，esiny3x则所求微分方程的一般解为y=C,e-2*+e*(Czcos3+Cgsin/3x),其中Ci,C2,Cg为常数17.在平而上任意选一点2，然后在复平而上画出下列各点的位置：-,-,十,-+解设=+i则-=-%-，故与-z关于原点对称；=-iy故与关于实轴对称；一=-*+iy，故与-关于虚轴对称十一,即于的确角等于全的循角,的模是的模的倍；