第1章复数与复变函数典型题解析试确定的实部和虚部例1-1分析将=x+iy代人原式，然后化简即可z +2- ±+iy +2- (x +2) +iy -[(x ±2) + iy] .[(x-1) -iy]解x+iy-1==（x-1)+iy(x-1)2+y-1(x + 2)( - 1) + y + i[r(x - 1) - (x + 2))(x - 1)2 + )- (2(+r, m()- (*y-3Re( +则(x- 1)+y2例12 设0,试证|z-1≤/z/ -11+ [z/[agz.分析在证明有关复数模（或绝对值）的等式或不等式时，常用公式|二z,2±22|2=21/2+22[3±2Re(,2)以及三角不等式/|2-|2/≤|±2/≤z+.由于0以及要证不等式中含有|和arg，故考虑复数的指数形式=I zleiagt.设z=1zle，=agz且-元≤元，则证明1z-1= 12- 1z/+[21-1/ ≤ [2-12/1+11z-1]= 1Izl-1/+1zf.fee-1l= 1 I2/-1/+ 1z/. [cosg - 1 + ising= I [2 -11+ |2/-/4sin 号10≤11/+11sin%= 1 12/ - 1/+ 2/2[.1011el6这是因为当0≤号受时, m号成立，从而不等式|2-11≤= sinN222[|z/-1|+「z|-argz|成立例1-3 将函数(2) =x(1++写成关于的解析表达式，+irx+解常用以下三种方法：(2 + ),=(2 -)代人,得将=(1)共轭法A)=2+1(2)=(1+)+1(1-2凑成%+iy的函数形式，则(2)拼凑法
2复变函数习题精解精练11f(z)=x+iy+(-iy)=z-.N=2.云2(3)设零法令=0,求(),再得(2),因(）=x(1+)=+,故f(z) = z+ 1例14试讨论下式定义的函数的连续性：[1z=rei129f(z) =(r >0,0 <p≤2n)2元，Z=0分析对于分段函数连续性问题，一般是用定义讨论它在分段点处的连续性，在分段点外只需考虑每段上相应函数的连续性.本题中函数f(z）的分段点相当于z=0及@=0,即原点及正实轴上的点解（1)=0是）的不连续点[1-2元因为0,有）f(0)=20显然当沿射线agz=号趋于原点时，上式的值恒为2元-0,这说明=0不是2）的连续点.(2）正实轴上的每一点zg也是（z）的不连续点.因zo在正实轴上，所以zg二zo（cos2元+.然而当沿圆周！=}=顺时针方向趋于时，的辐isin2元)(0<甲≤2元),即 f(z）=A角 = argz→0,这时111]-2元~1[f(z) -f()/= (β→ 0)R20-4元494元(这里不妨令0)(3)除（1）、（2）两种情况外，f(2）处处连续.事实上，若任意非原点、非正实轴上的点21yl=e满足>0,0<P<2元,那么1111f(2) - (2)/ =120-20/21如图1-1所示，考虑z-2,0A与OB是圆周z-z|=8的两条切线，显然有n，而且可以选取适当的<arcgin19(这是因为由 8>0,使得Φ>x,即m有-+<arcsinaresinriTi图1 - 180，故只要0<arcsinarcsin2Tiri
3第1章复数与复变函数n.sin，便有>号=号）8arecsinI - gilT时,有()(z)=于是当0sin这里用到了L2091qil}aresin和>号两个不等关系，22daresinf1令<e（任意给定的正数）,解得<f,sineg）,取9i[rnsin 号,risin(eg))mmin可知对于任意给定的正数>0,总存在>0,当|z-/<时，有f(z) -f(z))/<e成立.这就说明《z）在任意非原点、非正实轴上处处连续例1-5若以1,w，w2，",wa-表示1的n个n次根，试从2-1 + 2-2 + *** + z + 1 = (z - w))(2 - w2).(z - Wn-1)两端令z → 1,证明 2'sin ≥sin2..sin （n - 1)元=nn分析1的n次根为=（=0,1,2,，n-1)，这样w=，,而且不难看出1,w)，w2，，wn-也是方程”1=0的n个根，所以2 - 1 = (z - 1)(z - w,)(z - w2)--(z - w-1)两边同除以（-1）便得(2 - w,)(z - w2)..-(z - wa-1) = z-1 + zn-2 + +z+1当z-→1时，上式右端极限为n；而当z1时，上式左端极限为（1-w)(1-w2)(1-wa-）我们只须利用复数的乘法验证(n-1)n( - o),)( - w) .( - .-) = 2-sin sin 2...girnR从等式证明2-1 + 2-2 +.* + z + 1 = (z - w)(z - w2)..(z~ w-1)两端令 2→1,可知 n = (1 - w,)(1 - w,).(1 - w-),又1 - w = 1 - : = 1 - cos 2k - isin 2k = 2sin kn - 2isin krcos knnnnnoa k] = 2sin [ cosk元l(sin kn - icos)os(k_) + isin((_))=2sincOsntn= 2sin k. e(-号)n所以(1 - w)(1 - w2)..(1 -- wa--)= 2sin g(-号) .2sin 2e(-2)..2sin (n -1).(lk-2)nn· sin sin 2...(n-I)r. e%(+***-1).e*r2-]sinnnn
4复变函数习题精解精练(n - 1)元 sin 2..= 28-1 . sin≤sinnnn故等式2lsinsin2n...(n - 1)元 = n 成立....sinRrtn书后习题解析1.求下列复数z的实部与虚部，共轭复数、模与辐角：; (3) (3 +4i)(2 - 51), (4)P - 4) + 1.(1)3+2 (2) + -2);1121分析复数z=x+iy的三角表示式、指数表示式分别为z=r(coso+isino）与z=rei其中r=2+，8=argz.一般在给定复数z后，模r的计算比较简单，关键是求6,而复数≥的辐角主值可按式(1 -3)来计算(其中"<arctan ≤号).本题先对分母有理化再进行2复数的四则运算，将各式化简成+i的形式，再回答问题3 -2i1(3 -21) =号-解(1)3 + 2 = (3 + 2)(3-21) = -,m(0) -- -+8Re(z) = 1[=)+(132argz = aretam[(- 3) /3] = artan( - 号) = - aretan 2+2k元(k = 0, ±1, ± 2,*.)Argz =- arctan 号3i(1 + i)3i(2) 1+---1-(0) --1--+3---22Re(2)号,Im(2)=-号,2=号+号i=)(）2argz = arclan[(-号)/号] = - arctan +2kr(h=0,±1,±2,)Argz = - arctan (3) (3 + 4)(2 - 51) _ 26= 71 _ (26 - 71)171- 13i22i2i-21号,Im(z) = - 13, = -Re(z) = -+13i25/29)+(- 13)21226argz = arctan 号北
第 1章复数与复变函数526 π+2h,(k = 0, ±1, ±2,..)Argzarctan(4)iB - 42 + 1 = 14 - 45x4+1 +i = 1 - 4i +i = 1- 3iRe(z) = 1,Im(z) =-3,z = 1 +3i1z = V +(-3) = V10- 3arctan3argz=arctan1Argz =- arctan3 +2kπ (h = 0, ± 1, ± 2,...)2.当，等于什么实数时，等式年++(~3)=1+i成立？5+3i解因为分母不为零，所以原等式可化为(% + 1) + i(y - 3) = (1 + i)(5 + 3i) = 2 + 8iJx+1=2[=1利用复数相等的概念，得，即×=1,=11时等式成立，- 3= 8[=113.证明虚数单位i有这样的性质：-i=i=i---→=r,而i--i,所以-i-f-i.证明因为-i：i14.证明：(1)/ 2/2 = ±;(2) 2 ± 22 = ± 2;(4) () = (22 0);(3) 2122 = 2172;-号(z +2),Im(z) =(2-2)(5)2 = z;(6)Re(z) = 分析这类基本性质的证明通常要把写成+i的形式，然后从定义出发证明等式成立.(1)设2 = +i,则1z/2 = + ,文证明z-z = (+i)(x~ir) =+所以1z2=2.2(2)设z = x + iy122 = x2 + iy,则z, ±z2 =(x, +iyi) ±(x2 +iy2) =(x) ± x2) + i(y ± y2)=(x ± x) - i(y ±2)z ±z =(x +iy)±(x +iy) =( - iy) ±(2 -iyz)= ( ±x) -i(y±y2)从而 ± 22= ± (3) 设 2 = + iy1,22 = x2 + iy2,则z2 =( +iy)(x +iy2)=(x2-) + i(x2 +x)=()i()z·2=（,+iy).(x2+iyz)=(xiiyr)(x2-iy2)= (xx2 - yy) - i(xiy2 + x2y)从而Z1 22 = 21 - 22