例1求曲线x=cost,y=sint,z=2t在对应于 6-的点处的切线方程和法平面方程 解题思路：T:x=p(t),y=w(t),z=o(t) 设t=t0对应M(x0,y0,20) 切线方程 x-0=y-y0=2-20 p'(to)'(to)o'()》 法平面方程 p'(tox-x0)+w'(t0)(y-y0)+o'(0)(z-20)=0 2009年7月6日星期一 6 目录 上页 下页 返回
2009年7月6日星期一 6 目录 上页 下页 返回 例 1 求曲线 x = cos t ， y t = sin ， z = 2 t 在对应于 0 4 t π = 的点处的切线方程和法平面方程. 解题思路 : Γ x = ϕ t y = ψ t z = ω t)(,)(,)(: ),( 0 000 设 = 对应 zyxMtt 切线方程 0 0 0 x x yy z − z = − = − )( 0 ϕ ′ t )( 0 ψ′ t )( 0 ω′ t 法平面方程 ))(( 00 ϕ′ t x − x )()( 0 0 + ψ′ t − yy 0))(( + ω′ t z − z00 =
如果曲线厂由方程组y=y(x),z=(x)给出， 只要将此方程组改写为以x为参数的参数方程 x=x, y=(x), =(x), 则根据上面的讨论可知，T上点M(x,y,20)处的切 向量为 T=(1,y'(x),z'(x) 2009年7月6日星期一 7 目录○ (上页今 下页 、返回
2009年7月6日星期一 7 目录 上页 下页 返回 如果曲线 Γ 由方程组 y yx = ( )， z = z x( )给出， 只要将此方程组改写为以 x为参数的参数方程 , ( ), ( ), x x y yx z z x ⎧ = ⎪ ⎨ = ⎪ ⎩ = 则根据上面的讨论可知， Γ 上点 00 00 M (, ,) xyz 处的切 向量为 0 0 T = (1, ( ), ( )) yx zx ′ ′
2.曲线为一般式的情况 光计齿改1{瓷)=8 当J= (F,G)+0时，「可表示为 ∫y=p(x) a(y,z) 2=w(x 且有 dy 1(F,G)dz 1a(F,G) dxJa(z,x)’dxJa(x,y) 曲线上一点M(x0,y0,20)处的切向量为 y+2 T={1,p'(x0),'(xo)} 十6 1a(F,G) M'⊙(x,y) M 2009年7月6日星期一 8 目录 上页 下页 返回
2009年7月6日星期一 8 目录 上页 下页 返回 光滑曲线 ⎩ ⎨ ⎧ = = Γ 0),( 0),( : zyxG zyxF 当 0 ),( ),( ≠ ∂ ∂ = zy F G J ⎩ ⎨ ⎧ = = )( )( xz xy ψ ϕ = x y d d 曲线上一点 ),( 000 zyxM x y z , 且有 = x z d d , ),( ),(1 xz F G J ∂ ∂ , ),( ),(1 yx F G J ∂ ∂ 处的切向量为 时, Γ 可表示为 ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ ∂ ∂ ∂ ∂ = M yx M GF Jxz GF J ),( ),(1 , ),( ),(1,1 { })(,)(,1 0 0 T = ϕ′ ψ′ xx 2. 曲线为一般式的情况
或7= a(F,G) o(,G) @(F,G) a(y,=) M’d (2,x)M’a(x,y) M 则在点M(x0,y0,20)有 x-x0 y-yo 2-20 切线方程 &F,G) a(F,G) &(F,G) a(y,2) M a(z,x) M a(x,y) M 法平面方程 a(F,G) (x-x0)+ @(F,G) (y,2) a(z,x) (y-yo) &(F,G) (z-20)=0 d(x,y) M 2009年7月6日星期一 9 目录今 上页 下页 返回
2009年7月6日星期一 9 目录 上页 下页 返回 0 0 0 xx yy z − z = − = − zy M GF ),( ),( ∂ ∂ 则在点 ),( 000 M x y z 切线方程 法平面方程 有 zy M GF ),( ),( ∂ ∂ xz M GF ),( ),( ∂ ∂ yx M GF ),( ),( ∂ ∂ )( 0 − xx yx M GF ),( ),( ∂ ∂ + xz M GF ),( ),( ∂ ∂ + )( 0 y − y 0)(z − z 0 = ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = M M yx M GF xz GF zy GF T ),( ),( , ),( ),( , ),( ),( 或
法平面方程 &(F,G) 8y2)Mx-o)+ (F,G) (z,x) MOy-o》 &F,G) x,)M(2-0)=0 也可表为 x-x0 y-Y0 2-20 Fx(M)F(M)F(M) =0 Gx(M)Gy(M)G(M) 2009年7月6日星期一 10 目录 上页 下页 、返回
2009年7月6日星期一 10 目录 上页 下页 返回 0 )()()( )()()( 0 0 0 = −−− MGMGMG MFMFMF zzyyxx x y z x y z 也可表为 )( ),( ),( )( ),( ),( 0 0 yy xz M GF xx zy M GF − ∂ ∂ +− ∂ ∂ 0)( ),( ),( 0 =− ∂ ∂ + zz yx M GF 法平面方程