第五章 第五节定积分的元素法及其应用 Element Method of Definite Integral and Its Applications) 一、定积分的元素法 二、定积分在几何学上的应用 三、定积分在物理学上的应用 四、思考与练习 2009年7月3日星期五 1 目录○ 上页 下页 返回
2009年7月3日星期五 1 目录 上页 下页 返回 第五节 定积分的元素法及其应用 第五章 （Element Method of Definite Integral and Its Applications ） 二、定积分在几何学上的应用 一、定积分的元素法 三、定积分在物理学上的应用 四、思考与练习
三、定积分在物理学上的应用 1.变力沿直线所作的功 设物体在连续变力F(x)作用下沿x轴从x=a移动到 x=b,力的方向与运动方向平行，求变力所做的功. 在[a,b]上任取子区间[x,x+dx],在其上所作的功元 素为 dW=F(x)dx a x x+dx h x 因此变力F(x)在区间[a,b]上所作的功为 w=F(x)dx 2009年7月3日星期五 2 目录 上页今 下页 、返回
2009年7月3日星期五 2 目录 上页 下页 返回 三、定积分在物理学上的应用 1. 变力沿直线所作的功 设物体在连续变力 F(x) 作用下沿 x 轴从 x ＝a 移动到 x = b , 力的方向与运动方向平行, 求变力所做的功 . a x x + d x b x 在 [ a,b ]上任取子区间 [ x, x + d x ]，在其上所作的功元 素为 d W = F ( x ) dx 因此变力 F(x) 在区间 [ a,b ]上所作的功为 ∫ = b a W F ( x ) dx
例1已知一弹簧拉长0.02m要用9.8N的力，求把该弹 簧拉长0.1m所作功.（课本例11) 解：由物理学中的胡克定理可知，在 弹性限度内拉伸弹簧所需要的力与弹 簧的伸长量x成正比，即 分 白- F=k·x(k为比例系数) x+dx 根据题意，当x=0.02m时，F=9.8N, F=kx 所以k=4.9×102,即F=4.9×102x 设弹簧沿着x轴正方向拉伸，则x的变化范围为[0,0.1] 在[0,0.1]上任取一小区间[x,x+dx]（如图)，与该小区间 对应的变力F可近似地看作常力，因此在此小区间上力F所 2009年7月3日星期五 3 目录 上页 下页 返回
2009年7月3日星期五 3 目录 上页 下页 返回 例 1 已知一弹簧拉长0.02 m 要用9.8 N 的力，求把该弹 簧拉长0.1 m 所作功. （课本 例 11 ） F = k x⋅ 解：由物理学中的胡克定理可知， 在 弹性限度内拉伸弹簧所需要的力与弹 簧的伸长量 x 成正比，即 （ k为比例系数） 根据题意，当 x = 0.02 m 时， F = 9.8 N， 所以 2 k = × 4.9 10 ，即 2 F = 4.9 10 × x 设弹簧沿着 x 轴正方向拉伸，则 x 的变化范围为[0, 0.1]， 在[0, 0.1] 上任取一小区间[, d ] xx x + （如图），与该小区间 对应的变力 F 可近似地看作常力，因此在此小区间上力 F 所
功W的元素为 dW=4.9×102xdx 于是弹簧拉长0.1m所作的功为 W=∫49x102xdx =4910 =2.45(J) 2009年7月3日星期五 4 目录 上页( 下页 返回
2009年7月3日星期五 4 目录 上页 下页 返回 功 W 的元素为 2 d d W x = 4.9 0 × 1 x 于是弹簧拉长0.1m 所作的功为 2 0.1 0 W = 4.9 10 d × x x ∫ 0.1 2 2 0 4.9 10 2 ⎡ x ⎤ = × ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ = 2.45 ( ) J
例2一蓄满水的圆柱形水桶高为5m,底圆半径为3m, 试问要把桶中的水全部吸出需作多少功？ 解：建立坐标系如图.在任一小区间 [x,x+dx]上的一薄层水的重力为 8pπ32dx 5m 这薄层水吸出桶外所作的功（功元素）为 x+dx dW=9πg pxdx 3m 故所求功为 2 W=的9πBpxdx=9zg 5 设水的密 ,0 =112.5πgP(自学课本例12) 度为P 2009年7月3日星期五 5 目录 上页 下页 返回
2009年7月3日星期五 5 目录 上页 下页 返回 试问要把桶中的水全部吸出需作多少功 ? 解 : 建立坐标系如图. o x 3 m x + d xx 5 m 在任一小区间 + xxx ]d,[ 上的一薄层水的重力为 g ⋅ 2 ρ ⋅π 3 dx 这薄层水吸出桶外所作的功 (功元素 ) 为 d W = 9 π g ρ x dx 故所求功为 ∫ = 5 0 W 9 π g ρx d x = π g9 ρ 2 2 x = π g5.112 ρ 设水的密 度为 ρ 0 5 （自学课本 例12 ） 例 2 一蓄满水的圆柱形水桶高为 5 m, 底圆半径为3m