第二章数列极限 §1数列极限概念 若函数∫的定义域为全体正整数集合N,则称 f:N++R或f(n),n∈N 为数列.因正整数集N,的元素可按由小到大的顺序排列，故数列f(n)也可写 Q1,a2,an,·, 或简单地记为{an},其中a,称为该数列的通项. 关于数列极限，先举一个我国古代有关数列的例子. 例1古代哲学家庄周所著的（庄子·天下篇》引用过一句话：“一尺之棰，日 取其半，万世不竭”，其含义是：一根长为一尺的木棒，每天截下一半，这样的过程 可以无限制地进行下去。 把每天截下部分的长度列出如下（单位为尺）： 第一天截下2，第二天截下是，.，第n天截下，.这样就得到一个 数列 2.或 不难看出，数列只日}的通项引随着的无限增大而无限地接近于0.一般地 说，对于数列{a,},若当n无限增大时an能无限地接近某一个常数a,则称此数列 为收敛数列，常数ā称为它的极限.不具有这种特性的数列就不是收敛数列」 收敛数列的特性是“随者n的无限增大，an无限地接近某一常数a”.这就 是说，当n充分大时，数列的通项an与常数a之差的绝对值可以任意小，下面 我们给出收敛数列及其极限的精确定义. 定义1设{an}为数列，a为定数.若对任给的正数e,总存在正整数N,使 得当n>N时有 lar-al <e, 则称数列{an}收敛于a,定数a称为数列{an}的极限，并记作
24 第二章数列极限 lima=a0,或an→a(n→o), 读作“当n趋于无穷大时，an的极限等于a或an趋于a” 若数列{an}没有极限，则称{am不收敛，或称{an}为发散数列. 定义1常称为数列极限的e-N定义.下面举例说明如何根据e-N定义 来验证数列极限 例2证明=-0，这里。为正数。 证由于 0-= 故对任给的：>0，只要取N-[片洁]+1，属当。>N时，便有 是<太<：即片-0<e 这就证明了m=0. 例3证明 g=3 分析由于 n33=”3≤号(a≥3) |3n2 (1) 因此，对任给的e>0,只要9<e,便有 3n2 n2-33<e, (2) 即当n>?时，(2)式成立.又由于(1)式是在n≥3的条件下成立的，故应取 N-mx3. 证任给e>0,取N=mx3,2据分折，当n>N时有(2)式成立.于是 本题得证. 注本例在求N的过程中，(1)式中运用了适当放大的方法，这样求N就 比较方便.但应注意这种放大必须“适当”，以根据给定的ε能确定出N,又(3)式 ①记号im是拉丁文imes(极限)一词的前三个字母.由于n限于取正整数，所以在表示数列极限 的记号中把n→+∞简单地写作n→∞
S1数列极限概念 25 给出的N不一定是正整数.一般地，在定义1中N不一定限于正整数，而只要 它是正数即可. 例4证明Iimq”=0,这里|g<1. 证若q=0,则结果是显然的.现设0<q<1.记h=日-1，则h>0. 我们有 1g-01=1q0=1+h)1 并由(1+h)"≥1+nh得到 g≤<à (4) 对任给的e>0,只要取N=,则当n>N时，由(4)式得1g-01<e这 就证明了limg”=0. 当q=号时，就是前面例1的结果 注本例还可利用对数函数y=gx的严格增性来证明（见第一章§4例6 的注及(2)式)，简述如下： 对任给的e>0(不妨设e<1),为使|g”-0l=|g<e,只要 m®gl<gt即n>部 T(这里也假定0<1g1<1). 于是，只要取N=哈备行即可 倒5证明ima=1,其中a>0. 证当a=1时，结论显然成立.现设a>1.记a=a-1,则a>0.由 a=(1+a)"≥1+a=1+n(ah-1) ah-1≤a1 (5) 任给e>0,由(5)式可见，当n>a1=N时，就有a-1<e,即1a-1 <e.所以lima=1.对于0<a<1的情形，其证明留给读者. 关于数列极限的e一N定义，通过以上几个例子，读者已有了初步的认识. 对此还应着重注意下面几点： 1.e的任意性定义1中正数e的作用在于衡量数列通项an与定数a的 接近程度，e愈小，表示接近得愈好；而正数e可以任意地小，说明an与a可以
26 第二章数列极限 接近到任何程度.然而，尽管€有其任意性，但一经给出，就暂时地被确定下来 以便依靠它来求出V.又ε既是任意小的正数，那么号，3e或e2等等同样也是 任意小的正数，因此定义1中不等式a,-a<e中的e可用气，3e或e2等来代 替.同时，正由于€是任意小正数，我们可限定e小于一个确定的正数（如在例4 的注给出的证明方法中限定e<1).另外，定义1中的am一a<e也可改写成 an-a|≤e. 2.N的相应性一般说，N随e的变小而变大，由此常把N写作N(e),来 强调N是依赖于€的；但这并不意味着N是由ε所唯一确定的，因为对给定的 e,比如当N=100时能使得当n>N时有lan-a1<e,则N=101或更大时此 不等式自然也成立.这里重要的是N的存在性，而不在于它的值的大小.另外， 定义1中的n>N也可改写成n≥N. 3.从几何意义上看，“当n>N时有|an-a<e”意味着：所有下标大于N 的项a,都落在邻域U(a;e)内；而在U(a;e)之外，数列an}中的项至多只有 N个（有限个）.反之，任给e>0,若在U(a;e)之外数列{an}中的项只有有限 个，设这有限个项的最大下标为N,则当n>N时有an∈U(a;e),即当n>N 时有|an一a<e.由此，我们可写出数列极限的一种等价定义如下： 定义1'任给e>0,若在U(a;e)之外数列{an}中的项至多只有有限个， 则称数列{an收敛于极限a. 由定义1'可知，若存在某e0>0,使得数列{an}中有无穷多个项落在U(a; eo)之外，则{an}一定不以a为极限. 例6证明{n2}和{(-1)”}都是发散数列. 证对任何a∈R,取e0=1,则数列{n2}中所有满足n>a+1的项（有无 穷多个)显然都落在U(a;o)之外，故n2}不以任何数a为极限，即{n2}为发 散数列 至于数列1(-1)”}，当a=1时取eo=1,则在U(a;eo)之外有{(-1)}中 的所有奇数项；当a≠1时取e0=方|a-1|,则在U(a;e0)之外有{(-1)"}中 的所有偶数项.所以{(-1)"}不以任何数a为极限，即{(-1)"}为发散数列.口 例7设imx。=m.=a,作数列z,如下： n:1122, 证明lim=a. 证因1mxn=limy.=a,故对任给的e>0,数列{x}和yn中落在 U(a;e)之外的项都至多只有有限个.所以数列{之n}中落在U(a;e)之外的项
S1数列极限概念 27 也至多只有有限个.故由定义1'，证得im之m=a. 例8设{an{为给定的数列，{bn}为对{an}增加、减少或改变有限项之后得 到的数列.证明：数列{bn}与{an同时为收敛或发散，且在收敛时两者的极限相 .证设{an}为收敛数列，且lima=a.按定义1'，对任给的e>0,数列{an 中落在U(a;e)之外的项至多只有有限个.而数列bn是对{an}增加，减少或改 变有限项之后得到的，故从某一项开始，{bn}中的每一项都是{an}中确定的一 项，所以{bn中落在U(a;e)之外的项也至多只有有限个，这就证得imb.=a 现设{an}发散.倘若{bn}收敛，则因{an}可看成是对{bn}增加、减少或改变 有限项之后得到的数列，故由刚才所证，{an收敛，矛盾.所以当{an}发散时 bn}也发散 0 在所有收敛数列中，有一类重要的数列，称为无穷小数列，其定义如下： 定义2若iman=0,则称a,}为无穷小数列. 前面例1、2、4中的数列都是无穷小数列.由无穷小数列的定义，读者不难证 明如下命题： 定理2.1数列{an}收敛于a的充要条件是：an-a}为无穷小数列， 习题 1.设a,=1+少，m=1,2,.,a=0. (1)对下列e分别求出极限定义中相应的N: e1=0.1,e2=0.01,e=0.001; (2)对e1,e2,e3可找到相应的N,这是否证明了a.趋于0？应该怎样做才对； (3)对给定的e是否只能找到一个N? 2.按e-N定义证明： ()mn十=1 (3)m=0: (4n开=0： (5)m2=0(a>1). 3.根据例2，例4和例5的结果求出下列极限，并指出哪些是无穷小数列： )-京(2)m5:(3)=: （4)m;(5√方：(o0: