28 第二章数列极限 ()画方 4.证明：若iman=a,则对任一正整数k,有ima,+=a. 5.试用定义1'证明： (1)数列1上不以1为极限；(2)数列{n)°1发散 6.证明定理2.1，并应用它证明数列1+一少的极限是1。 7.证明：若iman=a,则limla=|al.当且仅当a为何值时反之也成立？ 8.按e-N定义证明： ①w-a)=0:2e1t2++=0: (3)lima=1,其中 ,n为偶数 n ,+，n为裔数 n §2收敛数列的性质 收敛数列有如下一些重要性质： 定理2.2（唯一性）若数列{an收敛，则它只有一个极限 证设a是an}的一个极限.我们证明：对任何数b≠a,b不是{an}的极 限.事实上，若取o=b-a,则按定义1'，在U(a;eo)之外至多只有1an中 有限个项，从而在U(b:co)内至多只有{an}中有限个项，所以b不是{an}的极 限.这就证明了收敛数列只能有一个极限. 0 一个收敛数列一般含有无穷多个数，而它的极限只是一个数我们单凭这一 个数就能精确地估计出几乎全体项的大小.以下收敛数列的一些性质，大都基于 这一事实 定理2.3（有界性）若数列{an}收敛，则{an为有界数列，即存在正数M, 使得对一切正整数n有 |an|≤M. 证设iman=a.取e=1,存在正数N,对-切n>N有 |a,-a<1即a-1<an<a+1. M=maxilail,la2l,.,lavl,la-11,l a +111
S2收敛数列的性质 29 则对一切正整数n都有|an|≤M. 0 注有界性只是数列收敛的必要条件，而非充分条件.例如数列（一1）"}有 界，但它并不收敛（见§1例6）. 定理2.4保号性)若lma,=a>0(或<0)，则对任何a∈(0，a)(或a' ∈(a,0),存在正数N,使得当n>N时有an>a'(或an<a'). 证设a>0.取e=a-a'(>0),则存在正数N,使得当n>N时有an>a -e=a',这就证得结果.对于a<0的情形，也可类似地证明， 0 注在应用保号性时，经常取a'=号 定理2.5（保不等式性）设{an}与{bn}均为收敛数列.若存在正数N0,使 得当N>No时有an≤b.,则lima,≤lim 证设iman=a,limb,=b.任给e>0,分别存在正数N1与N2,使得当n >N1时有 a-E<an, (1) 当n>N2时有 bn<b+e. 2) 取N=max{No,N1,N2},则当n>N时，按假设及不等式(1)和(2)有 a-e<an≤bm<b+e, 由此得到a<b+2e.由e的任意性推得a≤b(参见第一章S1例2)，即lima,≤ lim 0 请读者自行思考：如果把定理2.5中的条件an≤bn换成严格不等式an< ba,那么能否把结论换成ima.<lmb,？ 例1设an≥0(n=1,2,.）.证明：若lima=a,则 lim√an=√a. (3) 证由定理2.5可得a≥0. 若a=0,则由ima,=0,任给e>0,存在正数N,使得当n>N时有a:< e2,从而√a,<e即lwan-0<e,故有lima=0. 若a>0,则有 61层<a a 任给e>0,由lima=a,存在正数N,使得当n>N时有 |an-a|<√ae
30 第二章数列极限 从而l√an-√a|<e.(3)式得证. 定理2.6（迫敛性）设收敛数列{an},|bn}都以a为极限，数列{cn}满足： 存在正数No,当n>No时有 am≤cn≤bn, (4) 则数列1cn}收敛，且lim cn=a. 证任给e>0,由ima,=limb,=a,分别存在正数N,与N2,使得当n> N1时有 a-E<un, (5) 当n>N2时有 bn a+E. (6) 取V=maxi No,N1,N2},则当n>N时，不等式(4)、(5)、(6)同时成立，即有 a-e<am≤cn≤bm<a+e. 从而有|cn-a<e,这就证得所要的结果. 0 定理2.6不仅给出了判定数列收敛的一种方法，而且也提供了一个求极限 的工具. 例2求数列1n1的极限. 解记an=n=1+hn,这里hn>0(n>1),则有 n=(1+h,)>nm212h2 由上式得0<，<√名(a>),从而有 1≤a,=1+h<1+V乙 (7) 2是收敛于1的，因对任给的e>0,取N=1+是，则当n>N 数列1+√n1 时有1+√名-1<，于是，不等式（门）的左右两边的极限皆为1，放由迫 性证得1imn=1: 0 在求数列极限时，常需要使用极限的四则运算法则. 定理2.7（四则运算法则）若{an}与{bn为收敛数列，则{an+bn},{an bn,{anbn}也都是收敛数列，且有 lim(an±bn）=liman±limo, lm(an·6.)=lima·limb. 特别当bn为常数c时有
§2收敛数列的性质 31 lim(a +c)=lima+c,limca =c lima 若再假设6,0及m6,0,则份也是收敛数列，且有 m公=a/m 证由于a,-b,=a.+(-1)6.及号=aa,因此我们只须证明关于和、 积与倒数运算的结论即可。 设ima,=a,limb,=b,则对任给的e>0,分别存在正数N,与N,使得 |am-a|<e,当n>N1, Ibn-b|<e,当n>N2. 取N=mx{N1,N2},则当n>N时上述两不等式同时成立，从而有 1.I(an+bn)-(a+b)川≤lan-a+lbn-bl<2e之lim(an+bm)=a+b. 2.la,b-abl=(an-a)bn+a(b-b)i<an-aliba!+lallbn-b1. (8) 由收敛数列的有界性定理，存在正数M,对一切n有|bn<M.于是，当n>N 时由(8)式可得 la,bn-abi <(M+lal)e 由e的任意性，这就证得lima,bn=ab. 3.由于imb,=b≠0，根据收敛数列的保号性，存在正数N,使得当n> N,时有b,>b.取N=maxN2,N,则当n>N时有 由：的任意任，这就证得四- 0 例3求 aamin+an+do mw+-1n-+.+b1n+b0】 其中m≤k,am≠0，bk≠0. 解以nk同乘分子分母后，所求极限式化为 1:o nm-k t am-inmaint aon +6-1n1+.+b1n1-+60n内 由S1例2知，当a>0时有1mn=0.于是，当m=k时，上式除了分子分母
32 第二章数列极限 的第一项分别为am与b:外，其余各项的极限皆为0，故此时所求的极限等于 :当m<k时，由于m0(m→o0),故此时所求的极限等于0.综上所述， 得到 0,k>m. 0 倒4求1其中a≠-1 解者41奥显性有回行 若a<1,则由lima”=0得 婴g7=eoea+)=o 若|a|>1,则 im车=m1+11+0=1. a” ◇ 例5求im√n(Wn+1-√n). 1 解√n(√n+l-√n)= n 由1+1→1(n→∞)及例1得 mn(n+1-n)=m一=2 0 V1++1 最后，我们给出数列的子列概念和关于子列的一个重要定理】 定义1设{an为数列，{mk}为正整数集N,的无限子集，且n1<n2<.< n<.,则数列 am,an,’.,a% 称为数列{an的一个子列，简记为an,}. 注1由定义1可见，{an}的子列{an,}的各项都选自{an},且保持这些项在 {an}中的先后次序.am}中的第k项是{an}中的第项，故总有n≥k.实际 上1n}本身也是正整数列{n}的子列. 例如，子列{a2}由数列{an}的所有偶数项所组成，而子列{a2k-1}则由{an}