18 第一章实数集与函数 时总有 对-=(-z[(+受+>0， 即x<x. 例4函数y=[x]在R上是增的.因为对任何x1,x2∈R,当x1<x2时显 然有[x1]≤[x2].但此函数在R上不是严格增的，若取x1=0,x2=号，则有 [x1]=[x2]=0,即定义中所要求的严格不等式不成立.此函数的图象如图1一3 所示. 0 严格单调函数的图象与任一平行于x轴的直 y 线至多有一个交点，这一特性保证了它必定具有反 2 函 定理1.2设y=f(x),xD为严格增（诚）一克寸o9方寸广 函数，则f必有反函数f1,且fl在其定义域f(D) 上也是严格增（减）函数. 证设f在D上严格增.对任一y∈f(D),有 图1-3 x∈D使f(x)=y.下面证明这样的x只能有一个 事实上，对于D内任一x1≠x,由f在D上的严格增性，当x1<x时f(x1)<y 当x1>x时有f(x1)>y,总之f(x1)≠y.这就说明，对每一个y∈f(D),都只 存在唯一的一个x∈D,使得f(x)=y,从而函数f存在反函数x=f1(y), y∈f(D). 现证f1也是严格增的.任取y1,y2∈f(D),y1<y2.设x1=f1(y1),x2 =f'(y2),则y1=f(x1),y2=f(x2).由y1<y2及∫的严格增性，显然有x1 <x2,即f1(y1)<f-1(y2).所以反函数∫1是严格增的. 0 例5函数y=x2在(-∞，0)上是严格减的，有反函数（按习惯记法）y= -√x,x∈(0，+∞)：y=x2在[0，+∞)上是严格增的，有反函数y=V元，x∈ [0,+∞)。但y=x2在整个定义域R上不是单调的，也不存在反函数. 0 上节中我们给出了实指数幂的定义，从而将指数函数 y=a(a>0,a≠1) 的定义域拓广到整个实数集R.下面证明指数函数在R上的严格单调性. 例6证明：y=a2当a>1时在R上严格增：当0<a<1时在R上严格递 爵 证设a>1.给定x1,x2∈R,x1<x2.由有理数集的稠密性，可取到有理 数r1,r2,使x1<r1<r2<x2(参见S1例1)，故有 a=ar为有理数≤a
§4具有某些特性的函数 9 <a≤pa'r为有理数}=a, 这就证明了a当a>1时在R上严格递增. 类似地可证a当0<a<1时在R上严格递减. ◇ 注由例6及定理1.2还可得出结论：对数函数y=logx当a>1时在(0， +∞)上严格递增，当0<a<1时在(0，+co)上严格递减.另外，在第四章中将 证明关于实指数幂的一个基本性质(a)9=a(定理4.10)，从而相应地有 logx=alogux(a>0,a≠l,x∈R*,a∈R). (2) 三奇函数和偶函数 定义4设D为对称于原点的数集，f为定义在D上的函数.若对每一个x ∈D有 f(-x)=-f(x)(f(-x)=f(x), 则称f为D上的奇（偶）函数. 从函数图形上看，奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象则关于y轴 对称 例如，正弦函数y=sinx和正切函数y=tanx是奇函数，余弦函数 y=cosx是偶函数，符号函数y=gmx是奇函数（见图1-1）.而函数f(x）= 如工+sx既不是奇函数，也不是偶函数，因若取x0=牙，则f(x0)=2, f(-xo)=0,显然既不成立f(-xo)=-f(x),也不成立f(-x0)=f(xo). 四周期函数 设f为定义在数集D上的函数.若存在σ>0，使得对一切x∈D有f(x± σ)=f(x),则称f为周期函数，σ称为f的一个周期.显然，若。为f的周期，则 o(n为正整数)也是∫的周期.若在周期函数 的所有周期中有一个最小的周期，则称此最 小周期为∫的基本周期，或简称周期 例如，sinx的周期为2π，tanx的周期为 元.函数 f(x）=x-[x],x∈R 图1-4 的周期为1（见图1-4）.常量函数f(x）=c是以任何正数为周期的周期函数 但不存在基本周期
第一章实数集与函数 习 题 1.证明f代x)=千是R上的有界函数 2.(1)叙述无界函数的定义； (2)证明(x)=为(0,1)上的无界函数： (3)举出函数f的例子，使f为闭区间[0,1]上的无界函数 3.证明下列函数在指定区间上的单调性： (1)y=3x-1在(-∞，+∞)上严格递增 (2)y=nx在[-乏，5]上严格递增： (3)y=cosx在[0，π]上严格递减 4.判别下列函数的奇偶性： (1)f(x)=7x4+x2-1;(2)fx)=x+sinx: (3)f(x)=x2e2; (4)f(x)=lg(x+√1+x2) 5.求下列函数的周期： (1)cor;(2)tan3r;(3)cos+2sin 6.设函数f定义在[-a,a]上，证明： (1)F(x)=f(x)+f(-x),x∈[-a,a]为偶函数； (2)G(x)=f(x)-f(-x),x∈[-a,a]为奇函数： (3)∫可表示为某个奇函数与某个偶函数之和， 7.设∫、g为定义在D上的有界函数，满足 f(x)≤g(x),x∈D. 证明：()ef(x)8g(x)；(2)fx)(x) 8.设∫为定义在D上的有界函数，证明： （I)8-x}=:fx;(2)g-x=x) 9.证明：mx在(-受，受)上无界，面在(-乏，受)内任一闭区间[a,b]上有界. 10.讨论狄利克雷函数 1,当x为有理数， D(x=0,当x为无理数 的有界性、单调性与周期性。 I1.证明：f八x)=x+sinx在R上严格增. l2.设定义在[a,+∞)上的函数∫在任何闭区间[a,b]上有界.定义[a,+∞)上的函
总练习题 21 m(x）=gy,M(x)=架f以. 试讨论m(x)与M(x)的图象，其中 (1)f(x）=sx,x∈[0，+∞)；(2)fx)=x2,x∈[-1，+o) 总练习题 1.设a,b∈R,证明 (1)maxia,bl=(a+b+la-6(); (2)minla,1=(a+6-la-b1). 2.设∫和g都是D上的初等函数.定义 M()=maxlf(),g(x)I,m()=minif(z),g(x),ED. 试问M(x)和m(x)是否为初等函数 3.设函数f(x)=+,求： -xx+)f(x)+1,()afr),x》. 4.已知f(）=x+小+7，求fx). 5.利用函数y=[x]求解： (1)某系各班级推选学生代表，每5人推选1名代表，余额满3人可增选1名.写出可 准选代表数y与班级学生数x之间的函数关系（假设每班学生数为30一50人）： (2)正数x经四舍五人后得整数y,写出y与x之间的函数关系. 6.已知函数y=代x)的图象，试作下列各函数的图象： (1)y=-f(x;(2)y=f(-x:(3)y=-f(-x): (4)y=|f(x)l;(5)y=gm(x: (6)y=号1fx川+fx)]:(7)y=[I(xI-f(x)] 7.已知函数∫和g的图象，试作下列函数的图象： (1)o(x)=maxlf(x),g();(2)(x)=minlf(x),g(z). 8.设∫、g和h为增函数，满足 fx)≤g(x)≤h(x),xER. 证明：ff(x)≤g(g(x)≤h(h(x). 9.设∫和g为区间(a,b)上的增函数，证明第7题中定义的函数p(x)和中(x)也都是 (a,b)上的增函数. 10.设f为[-a,a]上的奇（偶）函数.证明：若∫在[0，a]上增，则f在[-a,0]上增 (减). 11.证明：
22 第一章实数集与函数 (1)两个奇函数之和为奇函数，其积为偶函数； (2)两个偶函数之和与积都为偶函数； (3)奇函数与偶函数之积为奇函数 12.设∫，g为D上的有界函数.证明： (1)fx）+g(x)≤/x)+器&(x: (2)8(x)+g(x8l/x)+g(z川. 13.设f,g为D上的非负有界函数.证明： (1)i/(z小g(x≤infx)g(x): (2)supif(x)g(z)<supf(z)-supg(z). 14.将定义在[0，+∞)上的函数f延拓到R上，使延拓后的函数为()奇函数：()偶函 数设 (1)f(x)=sinx+1; (2)f)=1-T-2,0≤1， x3, x>1. 15.设f为定义在R上以h为周期的函数，a为实数.证明：若f在[a,a+h]上有界，则 ∫在R上有界. 16.设∫在区间1上有界.记 M=s9f(x),m=inf(x） 证明 ,哭，x)-(xl=M-m