§3函数概念 13 √与0=1-x2(它们的定义域取为各自的存在域)相继复合而得的复合函数为 y=sin1-x2,x∈[-1,1]. 注当且仅当E*≠O(即D∩g(E)≠O)时，函数f与g才能进行复合. 例如，以y=f(u)=arc sin u,u∈D=[-1,1]为外函数，u=g(x）=2+x2,x ∈E=R为内函数，就不能进行复合.这是因为外函数的定义域D=[一1,1]与 内函数的值域g(E)=[2,+∞)不相交 五反函数 函数y=f(x)的自变量x与因变量y的关系往往是相对的.有时我们不仅 要研究y随x而变化的状况，也要研究x随y而变化的状况.对此，我们引入反 函数概念. 设函数 y=f(x),x∈D (3) 满足：对于值域f(D)中的每一个值y,D中有且只有一个值x使得 f(z)=y, 则按此对应法则得到一个定义在(D)上的函数，称这个函数为f的反函数，记 f:f(D)→D, yx 学 x=f1(y),y∈f(D). (4) 注1函数∫有反函数，意味着f是D与f(D)之间的一个一一映射.我们 称f1为映射f的逆映射，它把集合f(D)映射到集合D,即把f(D)中的每 个值f(a)对应到D中唯-的一个值a.这时称a为逆映射f1下f(a)的象，而 f(a)则是a在逆映射fl下的原象 从上述讨论还可看到，函数∫也是函数∫1的反函数.或者说，∫与f1互为 反函数.并有 f'(f（x)=x,x∈D, f(f1(y)=y,y∈f(D). 注2在反函数f的表示式(4)中，是以y为自变量，x为因变量.若按习 惯仍用x作为自变量的记号，y作为因变量的记号，则函数(3)的反函数(4)可 改写为 y=f1(x),x∈f(D). (5) 例如，按习惯记法，函数y=ax+b(a≠0)，y=a(a>0,a≠1)与y=sinx
14 第一章实数集与函数 x∈[-受，受]的反函数分别是 y=yoy=aresin x. 应该注意，尽管反函数∫的表示式(4)与(5)的形式不同.但它们仍表示同 一个函数，因为它们的定义域都是f(D),对应法则都是f1,只是所用变量的 记号不同而已. 六初等函数 在中学数学中，读者已经熟悉基本初等函数有以下六类： 常量函数y=c(c是常数)： 幂函数 y=x(a为实数)； 指数函数y=a(a>0,a≠1)： 对数函数y=logx(a>0,a≠1)： 三角函数y=sinx(正弦函数)，y=cosx(余弦函数)， y=anx(正切函数)，y=cotx(余切函数)： 反三角函数 y=arcsin(反正弦函数)，y=arccos(反余弦函数)， y=arctan(反正切函数)，y=arcootx(反余切函数) 这里我们要指出，幂函数y=x和指数函数y=α都涉及乘幂，而在中学 数学课程中只给出了有理指数乘幕的定义.下面我们借助确界来定义无理指数 幂，使它与有理指数幂一起构成实指数乘幂，并保持有理指数幂的基本性质。 定义2给定实数a>0,a≠1.设x为无理数，我们规定 。-Par为有理数1，当a>1时， (6) far为有理数，当0<a<1时 (7) 注1对任一无理数x,必有有理数r0,使x<r0,则当有理数r<x时有r <ro从而由有理数乘幂的性质，当a>1时有a'<a.这表明非空数集 {ar<x,r为有理数 有一个上界a'.由确界原理，该数集有上确界，所以(6)式右边是一个确定的数 同理，当0<a<1时(7)式右边也是一个定数. 注2由§2习题8可知，当x为有理数时，同样可按(6)式和(7)式来表示 a,而且与我们以前所熟知的有理数乘幂的概念是一致的.这样，无论x是有理 数还是无理数，a'都可用(6)式和(7)式来统一表示 定义3由基本初等函数经过有限次四则运算与复合运算所得到的函数
§3函教概念 15 统称为初等函数. 不是初等函数的函数，称为非初等函数.如在本节第二段中给出的狄利克雷 函数和黎曼函数，都是非初等函数， 习 题 1.试作下列函数的图象： (1)y=x2+1: (2)y=(x+1)2; (3)y=1-(x+1)2: (4)y=sgn(sin ) 3x,x|>1, (5)y=x3,x<1, 3,|x1=1. 2.试比较函数y=r与y=logr分别当a=2和a=号时 的图象. 3.根据图1-2写出定义在[0,1]上的分段函数1(x)和 f2(x)的解析表示式， 4.确定下列初等函数的存在域： (1)y=sin(sin x); (2)y=lg(Ig); (3)y=arcsin(g着）；(4)y=lg(arcsin0) 5.设函数 图1-2 {2+x,x≤0， )=2, x>0. 求：(1)f(-3),f(0),f1):(2)f(△x】-f0),f(-△x)-f0)(△x>0). 6.设函数代x)=1十2求 1 f2+x).f(2z).f(2).f(Kz)).() 7.试问下列函数是由哪些基本初等函数复合而成： (1)y=(1+x)0; (2)y=(arcsin 2)2; （3)y=g1+1+);(4)y=22. 8.在什么条件下，函数 ar+b y=cr+d 的反函数就是它本身？ 9.试作函数y=arcsin(sinx)的图象 10.试问下列等式是否成立：
16 第一章实数集与函数 (1)tan(arctan x)=x,xER; (2)arctan(tanx)=x,x≠kx+交，k=0,±l,±2，. 11.试问y=|x是初等函数吗？ 12.证明关于函数y=[x]的如下不等式： ()当x>0时，1-x<x[]<1: (2)当x<0时，1≤[]<1-x §4具有某些特性的函数 在本节中，我们将介绍以后常用到的几类具有某些特性的函数 一有界函数 定义1设∫为定义在D上的函数.若存在数M(L),使得对每一个x∈D 有 f(x)≤M(f(x)≥L), 则称f为D上的有上（下）界函数，M(L)称为f在D上的一个上（下）界， 根据定义，∫在D上有上（下）界，意味着值域f(D)是一个有上（下）界的数 集.又若M(L)为f在D上的上（下）界，则任何大于（小于）M(L)的数也是f 在D上的上（下）界. 定义2设∫为定义在D上的函数.若存在正数M,使得对每一个x∈D 交 |f(x)|≤M, (1) 则称f为D上的有界函数. 根据定义，∫在D上有界，意味着值域f(D)是一个有界集.又按定义不难 验证：∫在D上有界的充要条件是f在D上既有上界又有下界.(1)式的几何意 义是：若f为D上的有界函数，则f的图象完全落在直线y=M与y=-M之 间。 例如，正弦函数sinx和余弦函数cosx为R上的有界函数，因为对每一个 x∈R都有|sinx≤1和|cosx≤1. 关于函数∫在数集D上无上界，无下界或无界的定义，可按上述相应定义 的否定说法来叙述.例如，设f为定义在D上的函数，若对任何M(无论M多 大)，都存在xo∈D,使得f(xo)>M,则称f为D上的无上界函数. 作为练习，读者可自行写出无下界函数与无界函数的定义
S4具有某些特性的函数 例1证明f(x)=上为(0,1]上的无上界函数 证对任何正数M,取(0,1上一点0二M十1，则有 f(o)=1=M+1>M: 故按上述定义，f为(0,1]上的无上界函数. 0 前面已经指出，f在其定义域D上有上界，是指值域f(D)为有上界的数 集.于是由确界原理，数集f(D)有上确界.通常，我们把f(D)的上确界记为 9(x),并称之为f在D上的上确界.类似地，若f在其定义域D上有下界，则 f在D上的下确界记为f(x). 例2设f,g为D上的有界函数.证明： (f(x)+i(x)≤ifz)+g(x)川： (i）s8f(x)+g(x)≤8r(x)+Bg(x) 证(i)对任何x∈D有 rr)≤f(x),(x)≤g(x)户f(x)+ig(x)≤f(x)+g(x) 上式表明，数f(x)+ig(x)是函数f+g在D上的一个下界，从而 if()+in()f()+g(). (i)可类似地证明（略）. 0 注例2中的两个不等式，其严格的不等号有可能成立.例如，设 f(x）=x,g(x)=-x,x∈[-1,1]， 则有f(x)=g(x)=-1,咒，f(x)=咒，g(x)=1,而 m,{f(x)+g(x)川={f(x)+g(x1=0. 二单调函数 定义3设f为定义在D上的函数.若对任何x1,x2∈D,当x1<x2时，总 有 (i)f(x)≤f(x2),则称f为D上的增函数，特别当成立严格不等式f(x1) <f(x2)时，称∫为D上的严格增函数： ()f(x1)≥f(x2),则称f为D上的减函数，特别当成立严格不等式 f(x1)>f(x2)时，称f为D上的严格减函数： 增函数和减函数统称为单调函数，严格增函数和严格减函数统称为严格单 调函数. 例3函数y=x3在R上是严格增的.因为对任何x1,x2∈R,当x1<x2