8 第一章实数集与函数 继续不断地10等分在前一步骤中所得到的半开区间，可知对任何k=1,2, .,存在0,1,2，.，9中的一个数4，使得 1)对于任何x∈S有x<n,n1n2.m+10 (1) 2）存在a∈S,使a4≥n.n1n2.nt. 将上述步骤无限地进行下去，得到实数刀=n.12.%.以下证明7= supS.为此只需证明： (i)对一切x∈S有x≤：(i)对任何a<?,存在a'∈S使a<a' 倘若结论(i)不成立，即存在x∈S使x>7,则可找到x的k位不足近似 x,使 x4>张=n.m1n2.+10, 从而得 工>.n2.me+10, 但这与不等式(1)相矛盾.于是()得证. 现设。<，则存在k使)的k位不足近似%>a,即 n.n1n2.nk>ak: 根据数7的构造，存在a'∈S使a≥，从而有 a'≥张>ak≥a, 即得到a<a'.这说明()成立. 0 在本书中确界原理是极限理论的基础，读者应给予充分的重视 例4设A、B为非空数集，满足：对一切x∈A和y∈B有x≤y.证明：数 集A有上确界，数集B有下确界，且 supA≤infB (2) 证由假设，数集B中任一数y都是数集A的上界，A中任一数x都是B 的下界，故由确界原理推知数集A有上确界，数集B有下确界. 现证不等式(2).对任何y∈B,y是数集A的一个上界，而由上确界的定义 知，supA是数集A的最小上界，故有supA≤y.而此式又表明数supA是数集 B的一个下界，故由下确界定义证得supA≤infB. 0 例5设A、B为非空有界数集，S=AUB.证明： (i)sup S=max sup A,sup B (ii)inf S=mininf A,inf B. 证由于S=AUB显然也是非空有界数集，因此S的上、下确界都存在. (i)对任何x∈S,有x∈A或x∈B→x≤supA或x≤supB,从而有x≤
§2数集·确界原理 9 max |sup A,supB},故得supS≤max{supA,supB| 另一方面，对任何x∈A,有x∈S→x≤supS→supA≤supS;同理又有 supB≤supS.所以supS≥max{sup A,sup B. 综上，即证得supS=maxsup A,supB}. (i)可类似地证明 0 若把+∞和-∞补充到实数集中，并规定任一实数a与+∞、-∞的大小关系为：a< +∞，a>-0,-0<+∞，则确界概念可扩充为：若数集S无上界，则定义+∞为S的非正 常上确界，记作pS=+∞；若S无下界，则定义-o为S的非正常下确界，记作ifS= ∞.相应地，前面定义2和定义3中所定义的确界分别称为正常上、下确界. 在上述扩充意义下，我们有 推广的确界原理任一非空数集必有上、下确界（正常的或非正常的）， 例如，对于正整数集N,有infN,=l,supN,=+o;对于数集 S={yly=2-x2,x∈R (3) 有infS=-,supS=2. 分 题 1.用区间表示下列不等式的解： (1)1-x-x≥0，(2)x+≤6： (3)(x-a)(x-b)(x-c)>0(a,b,c为带数，且a<b<c): (4)m≥2 2.设S为非空数集.试对下列概念给出定义： (1)S无上界：(2)S无界 3.试证明由(3)式所确定的数集S有上界而无下界 4.求下列数集的上、下确界，并依定义加以验证： (1)S=1z1z2<21;(2)S=zx=n!,nEN,I; (3)S=1xx为(0,1)内的无理数{： (4)s=lzlz-1-.nEN.l. 5.设S为非空有下界数集.证明： inf S=&ES=min S. 6.设S为非空数集，定义S={xl-x∈S.证明 (1)inf S-=-sup S;(2)sup S-=-inf S. 7.设A、B皆为非空有界数集，定义数集 A+B={zI之=x+y,x∈A,y∈B
10 第一章实数果与函数 证明：(1)sup(A+B)=supA+supB;(2)inf(A+B)=infA+infB 8.设a>0,a≠1，x为有理数.证明 supa|r为有理数，r<x,当a>1, a2= infla1r为有理数，r<x,当a<1. §3函数概念 关于函数概念，在中学数学中我们已有了初步的了解，本节将对此作进一步 的讨论 一函数的定义 定义1给定两个实数集D和M,若有对应法则f,使对D内每一个数x, 都有唯一的一个数y∈M与它相对应，则称f是定义在数集D上的函数，记作 f:D→M, (1) x→y 数集D称为函数f的定义域，x所对应的数y,称为f在点x的函数值，常记为 f(x).全体函数值的集合 f(D)=lyly f(x),xE D(C M) 称为函数∫的值域. (1)中第一式“D→M”表示按法则f建立数集D到M的函数关系；第二式 “x→y”表示这两个数集中元素之间的对应关系，也可记为“x→f(x)”.习惯 上，我们称此函数关系中的x为自变量，y为因变量 关于函数的定义，我们作如下几点说明： 1.定义1中的实数集M常以R来代替，于是定义域D和对应法则f就成 为确定函数的两个主要因素，所以，我们也常用 y=f(x),IE D 表示一个函数.由此，我们说某两个函数相同，是指它们有相同的定义域和对应 法则.如果两个函数对应法则相同而定义域不同，那么这两个函数仍是不相同 的.例如f(x)=1,x∈R和g(x)=1,x∈R\{0:是不相同的两个函数.另一方 面，两个相同的函数，其对应法则的表达形式可能不同，例如 g(x)=|x|,x∈R和(x)=√x2,x∈R. 2.我们在中学数学中已经知道，表示函数的主要方法是公式法，即用数学运 算式子来表示函数.这时，函数的定义域常取使该运算式子有意义的自变量值的全 体，通常称为存在域.在这种情况下，函数的定义域（即存在域）D可省略不写，而 只用对应法则f来表示一个函数，此时可简单地说“函数y=f(x)”或“函数
S3函数概念 11 3.函数f给出了x轴上的点集D到y轴上点集M之间的单值对应，也称 为映射.对于a∈D,f(a)称为映射f下a的象，a则称为f(a)的原象. 4.在函数定义中，对每一个x∈D,只能有唯一的一个y值与它对应，这样 定义的函数称为单值函数.若同一个x值可以对应多于一个的y值，则称这种 函数为多值函数.在本书范围内，我们只讨论单值函数 二函数的表示法 在中学课程里，我们已经知道函数的表示法主要有三种，即解析法（或称公 式法)、列表法和图象法。 有些函数在其定义域的不同部分用不同的公式表达，这类函数通常称为分 段函数.例如，函数 1,x>0, gmx=0,x=0, -1,x<0 是分段函数，称为符号函数，其图象如图1-1所示. 0-1 又如函数f(x)=|x|也可用如下的分段函数形式 来表示： 图1-1 x,x≥0， fx)=-,x<0. 它还可表示为f(x)=xgnx, 函数y=f(x),x∈D又可用如下有序数对的集合： G=(z.y)ly=f(r),xE D! 来表示.在坐标平面上，集合G的每一个元素(x,y)表示平面上的一个点，因而 集合G在坐标平面上描绘出这个函数的图象.这就是用图象法表示函数的依 据。 有些函数难以用解析法、列表法或图象法来表示，只能用语言来描述，如定 义在R上的狄利克雷(Dirichlet)函数 1,当x为有理数 D(x)=0,当x为无理数 和定义在[0，l]上的黎曼(Riemann)函数 (L R(x)=了9 当x=卫(p,9∈N,为既约真分数)， 0,当x=0,1和(0,1)内的无理数. 三函数的四则运算 给定两个函数f,x∈D1和g,x∈D2,记D=D1∩D2,并设D≠0.我们定
12 第一章实数集与函敏 义f与g在D上的和、差、积运算如下： F(x)=f(x）+g(x),x∈D, G(x)=f(x)-g(x),x∈D, H(x)=f(x)g(x),x∈D. 若在D中剔除使g(x)=0的x值，即令 D'=D1∩{xg(x)≠0，x∈D2}≠0， 可在D·上定义f与g的商的运算如下： L()D 注若D=D1∩D2=0,则∫与g不能进行四则运算.例如，设 f(x）=V1-x2,x∈D1={x|lx|≤1}， g(x)=Vx2-4,x∈D2={xIlx|≥2， 由于D∩D2=,所以表达式 f(x)+g(x)=W1-x2+x2-4 是没有意义的. 以后为叙述方便，函数f与g的和、差、积、商常分别写作 f+8,f-g,8女 四复合函数 设有两函数 y=f(u),uw∈D, (2) u=g(x）,x∈E. 记E·={x|g(x)∈D}∩E.若E*≠，则对每一个x∈E",可通过函数g对 应D内唯一的一个值4，而u又通过函数∫对应唯一的一个值y.这就确定了 个定义在E·上的函数，它以x为自变量，y为因变量，记作 y=f(g(x),x∈E"或y=(f。g)(x),x∈E, 称为函数f和g的复合函数.并称f为外函数，g为内函数，(2)式中的“为中 间变量.函数f和g的复合运算也可简单地写作f°g 例1函数y=f(4)=√u,u∈D=[0,+∞)与函数u=g(x)=1-x2,x ∈E=R的复合函数为 y=fg(x)=1-22或(f·g)(x)=√1-x2, 其定义域E·=[-1,1]CE. 复合函数也可由多个函数相继复合而成.例如，由三个函数y=sinu,u=