S1实数 3 实数的和、差、积、商（除数不为0）仍然是实数. 2.实数集是有序的，即任意两实数a、b必满足下述三个关系之一：a<b, a=b,a>b. 3.实数的大小关系具有传递性，即若a>b,b>c,则有a>c. 4.实数具有阿基米德(Archimedes)性，即对任何a、b∈R,若b>a>0,则 存在正整数n,使得na>b. 5.实数集具有稠密性，即任何两个不相等的实数之间必有另一个实数， 且既有有理数（见例1），也有无理数. 6.如果在一直线（通常画成水平直线）上确定一点O作为原点，指定一个 方向为正向（通常把指向右方的方向规定为正向），并规定一个单位长度，则称此 直线为数轴.任一实数都对应数轴上唯一的一点；反之，数轴上的每一点也都唯 一地代表一个实数.于是，实数集R与数轴上的点有着一一对应关系.在本书以 后的叙述中，常把“实数a”与“数轴上的点a”这两种说法看作具有相同的含义。 例2设a,b∈R.证明：若对任何正数e有a<b+e,则a≤b 证用反证法.倘若结论不成立，则根据实数集的有序性，有a>b.令e=a b,则e为正数且a=b+e,但这与假设a<b+e相矛盾.从而必有a≤b. 关于实数的定义与性质的详细论述，有兴趣的读者可参阅本书附录Ⅱ。 二绝对值与不等式 实数a的绝对值定义为 从数轴上看，数a的绝对值a就是点a到原点的距离 实数的绝对值有如下一些性质： 1.|a|=|-al≥0：当且仅当a=0时有|al=0. 2.-a≤a≤|al 3.|a<h台-h<a<h;a≤h台-h≤a≤h(h>0). 4.对于任何a、b∈R有如下的三角形不等式： Ia-|b|≤a±b|≤la|+|bl. 5.abl=lallb!. 68-860. 下面只证明性质4，其余性质由读者自行证明 由性质2有
4 第一章实数集与函数 -|al≤a≤lal,-|bl≤b≤|bl. 两式相加后得到 -(|a|+|bi)≤a+b≤Ia+|bl 根据性质3，上式等价于 1a+b|≤|al+Ib|. (1) 将(1)式中b换成-b,(1)式右边不变，即得|a-b≤|a|+|bl,这就证明了性 质4不等式的右半部分.又由|a|=|a-b+b1,据(1)式有 |a|≤|a-bl+lb|. 从而得 lal-|bl≤la-bl (2) 将(2)式中b换成-b,即得|a|-|b≤a+b|.性质4得证 ◇ 习题 L.设a为有理数，x为无理数.证明： (1)a+x是无理数；(2)当a≠0时，ax是无理数 2.试在数轴上表示出下列不等式的解： (1)x(x2-10>0;(2)1x-1<1x-3引 (3)√x-1-2x-1≥/3x-2. 3.设a、b∈R.证明：若对任何正数e有a-b<e,则a=b 4.设x0,证明x+≥2，并说明其中等号何时成立。 5.证明：对任何x∈R有 (1)1x-1川+1x-2≥1；(2川x-1川+x-2引+|x-3≥2 6.设a、b、c∈R(R+表示全体正实数的集合).证明 |a2+b-a2+e2|≤|b-cl. 你能说明此不等式的几何意义吗？ 7.设x>0,b>0,a≠b.证明介于1与之间. 8.设p为正整数.证明：若p不是完全平方数，则√p是无理数 9.设α、b为给定实数.试用不等式符号（不用绝对值符号）表示下列不等式的解： (1)lz-al<lz-6l;(2)lx-al<x-b;(3)112-al<b. §2数集·确界原理 本节中我们先定义R中两类重要的数集一区间与邻域，然后讨论有界集
§2数集·确界原理 5 并给出确界定义和确界原理 一区间与邻域 设a、b∈R,且a<b.我们称数集{x|a<x<b}为开区间，记作(a,b):数 集{xa≤x≤b}称为闭区间，记作[a,b];数集x|a≤x<b}和{x|a<x≤b} 都称为半开半闭区间，分别记作[a,b)和(a,b].以上这几类区间统称为有限区 间.从数轴上来看，开区间(a,b)表示a、b两点间所有点的集合，闭区间[a,b] 比开区间(a,b)多两个端点，半开半闭区间[a,b)比开区间(a,b)多一个端点a 等】 满足关系式x≥a的全体实数x的集合记作[a,+oo),这里符号o读作“无 穷大”，+∞读作“正无穷大”.类似地，我们记 (-∞，a]={xlx≤a,(a,+∞）={xlx>a}, (-∞，a)={xlx<al,(-∞，+∞)={xl-∞<x<+∞}=R, 其中一∞读作“负无穷大”，以上这几类数集都称为无限区间.有限区间和无限区 间统称为区间 设a∈R,6>0.满足绝对值不等式|x-a|<8的全体实数x的集合称为点 a的8邻域，记作U(a;8),或简单地写作U(a）,即有 U(a;6)={xllx-al<8=(a-6,a+8) 点a的空心6邻域定义为 U'(a;8)=x10<Ix-al <8l, 它也可简单地记作U(a).注意，U°(a;d)与U(a;8)的差别在于：U(a;8)不 包含点a, 此外，我们还常用到以下几种邻域： 点a的8右邻域U+(a;8)=[a,a+6),简记为U+(a)； 点a的6左邻域U-(a;8)=(a-8,a],简记为U-(a): (U-(a)与U+(（a)去除点a后，分别为点a的空心6左、右邻域，简记为 U°-(a)与U°+(a).) o邻城U(∞)={x|x>M,其中M为充分大的正数（下同）； +∞邻域U(+∞)={x|x>M}；-∞邻域U(-o∞)={x|x<-M. 二有界集·确界原理 定义1设S为R中的一个数集.若存在数M(L),使得对一切x∈S,都 有x≤M(x≥L),则称S为有上界（下界）的数集，数M(L)称为S的一个上界 (下界)
6 第一章实数集与函数 若数集S既有上界又有下界，则称S为有界集.若S不是有界集，则称S 为无界集。 例1证明数集N+={nn为正整数有下界而无上界. 证显然，任何一个不大于1的实数都是N,的下界，故N:为有下界的数 为证N+无上界，按照定义只须证明：对于无论多么大的数M,总存在某个 正整数no(∈N+),使得no>M.事实上，对任何正数M(无论多么大)，取no= [M]+1①，则no∈N+,且no>M.这就证明了N+无上界. 0 读者还可自行证明：任何有限区间都是有界集，无限区间都是无界集；由有 限个数组成的数集是有界集. 若数集S有上界，则显然它有无穷多个上界，而其中最小的一个上界常常 具有重要的作用，称它为数集S的上确界.同样，有下界数集的最大下界，称为 该数集的下确界.下面给出数集的上确界和下确界的精确定义， 定义2设S是R中的一个数集.若数刀满足： (i)对一切x∈S,有x≤7，即7是S的上界； (i)对任何a<n,存在xo∈S,使得xo>a,即7又是S的最小上界 则称数？为数集S的上确界，记作 7=supS② 定义3设S是R中的一个数集.若数E满足 (i)对一切x∈S,有x≥，即是S的下界； (ii)对任何B>,存在xo∈S,使得xo<B,即：又是S的最大下界， 则称数为数集S的下确界，记作 inf S. 上确界与下确界统称为确界。 例2设S={xx为区间(0,1)中的有理数.试按上、下确界的定义验证： sup S=1,inf S=0. 解先验证supS=1: (i)对一切x∈S,显然有x≤1，即1是S的上界 (i)对任何a<1,若a≤0，则任取xo∈S都有xo>a;若a>0,则由有理数 集在实数集中的稠密性，在(a,1)中必有有理数xo,即存在xo∈S,使得x0>a. 类似地可验证infS=0. 读者还可自行验证：闭区间[0,1]的上、下确界分别为1和0；对于数集 :表示不过数x的最大整数，例如[2,9]=2，-41 sup是拉丁文supremum(上确界)一词的简写；下面的inl是拉丁文infimu(下确界)-一词的简写
82数集·确界原理 7 E=-1)n=1,2.,有upE=2,infE=-1:正整数集N,有下确界in N,=1,而没有上确界. 注1由上（下）确界的定义可见，若数集S存在上（下）确界，则一定是唯一 的.又若数集S存在上、下确界，则有infS≤supS. 注2从上面一些例子可见，数集S的确界可能属于S,也可能不属于S. 例3设数集S有上确界.证明 7=supS∈S台7=maxS0 证→)设？=supS∈S,则对一切x∈S有x≤，而7∈S,故n是数集 S中最大的数，即7=maxS.。 ←)设7=maxS,则n∈S;下面验证7=supS: (i)对一切x∈S,有x≤7，即n是S的上界； (i)对任何a<7,只须取x0=7∈S,则x0>a.从而满足7=supS的定 关于数集确界的存在性，我们给出如下确界原理. 定理1.1（确界原理）设S为非空数集.若S有上界，则S必有上确界；若 S有下界，则S必有下确界. 证我们只证明关于上确界的结论，后一结论可类似地证明。 为叙述的方便起见，不妨设S含有非负数.由于S有上界，故可找到非负整 数n,使得 1)对于任何x∈S有x<n+1; 2)存在ao∈S,使a0≥n 对半开区间[n,n+1)作10等分，分点为n.1,n.2,.,n.9,则存在0,1,2， .,9中的一个数”1，使得 )对于任何zES有z<a.1+0: 2)存在a1∈S,使a1≥n.n1· 再对半开区间[n.n1,n,n1+0)作10等分，则存在0,1,2，.，9中的-个 数n2,使得 1)对于任何x∈S有x<n.m12+1 2)存在a2∈S,使a2≥n.n1n2 记 max是mximum(最大)一词的简写，？=maxS表示数刀是数集S中最大的数.以下将出现 的记号min是minimum(最小)一词的筒写，minS表示数集S中最小的数