4 目 录 S3上极限和下极限. .172 第八章不定积分 S1不定积分概念与基本积分公式.176 原函数与不定积分 .176 二基本积分表. .179 S2换元积分法与分部积分法.182 换元积分法. 182 分部积分法 S3有理函数和可化为有理函数的不定积分.190 有理函数的不定积分.。 190 二三角函数有理式的不定积分 .194 三某些无理根式的不定积分. 195 第九章定积分 S1定积分概念.200 一问题提出. .200 二定积分的定义. .201 S2牛顿一莱布尼茨公式. 204 §3可积条件. 207 可积的必要条件 207 可积的充要条件.208 三可积函数类. 209 S4定积分的性质. 213 定积分的基本性质.213 二积分中值定理 217 §5微积分学基本定理·定积分计算（续 4220 变限积分与原函数的存在性 .220 换元积分法与分部积分法 24 三 泰勒公式的积分型余项 227 ·§6可积性理论补叙 231 一上和与下和的性质 23 二可积的充要条件·.*“. 4233
第十章定积分的应用 S1平面图形的面积.239 S2由平行截面面积求体积.243 §3平面曲线的弧长与曲率 .247 平面曲线的孤长 247 250 S4旋转曲面的面积 253 徽元法. t*253 一旋转曲面的面积.+****“ 254 S5定积分在物理中的某些应用. 255 一液体静压力 255 引力.256 三功与平均功率.257 ·§6定积分的近似计算 .259 一梯形法. .260 二抛物线法. 260 第十一章反常积分 S1反常积分概念.26叫 一 问题提出. .264 二两类反常积分的定义 265 S2无穷积分的性质与收敛判别. 270 无穷积分的性质 270 一出较判别法+ 271 三狄利克雷判别法与阿贝尔判别法. .273 §3瑕积分的性质与收敛判别 276 附录I微积分学简史. 281 附录Ⅱ实数理论. 289 建立实数的原则. 289 二分桥. 290 亡分划全体所成的有序集*”“” 292 四R中的加法 294 五R中的乘法 295 六R作为Q的扩充 .297
6 录 七实数的无限小数表示 .299 八无限小数四则运算的定义.300 附录Ⅲ积分表.303 含有“的形式 . 303 二 含有a十hx的形式.303 三含有a2士x2,a>0的形式. 304 四含有a+bcx2,b2≠4a的形式. +304 五含有√a+bx的形式.304 六含有V2士2，a>0的形式.305 七 含有√a2-x,a>0的形式 .306 八含有inx或c了的形式. 306 九含有anx,cotx,工，cx的形式. 307 十含有反三角函数的形式. 308 十一含有的形式. 308 十二含有nx的形式. .309 习题答案. 310 索引 330 人名索引. .334
第一章实数集与函数 §1实数 数学分析研究的基本对象是定义在实数集上的函数.为此，我们先简要叙述 实数的有关概念. 实数及其性质 在中学数学课程中，我们知道实数由有理数与无理数两部分组成.有理数可 用分数形式2(p,9为整数，q≠0)表示，也可用有限十进小数或无限十进循环 小数来表示；而无限十进不循环小数则称为无理数.有理数和无理数统称为实 数. 为了以下讨论的需要，我们把有限小数（包括整数）也表示为无限小数.对此 我们作如下规定：对于正有限小数（包括正整数）x,当x=a0:a1a2.a,时，其 中0≤a,≤9，i=1,2,.,n,an≠0，a0为非负整数，记 x=a0.a1a2(am-1)9999., 而当x=a0为正整数时，则记 x=(a0-1).9999., 例如2.001记为2.0009999；对于负有限小数（包括负整数）y,则先将-y表 示为无限小数，再在所得无限小数之前加负号，例如-8记为-7.9999；又规 定数0表示为0.0000.于是，任何实数都可用一个确定的无限小数来表示. 我们已经熟知比较两个有理数大小的方法.现定义两个实数的大小关系， 定义1给定两个非负实数 x=a0a1a2an.,y=b0-b1b2.bn., 其中ao,b为非负整数，ak,b(k=1,2,.)为整数，0≤a≤9,0≤b≤9.若有 ak=bk,k=0,1,2,., 则称x与y相等，记为x=y;若ao>b或存在非负整数l,使得 ak=bs(k=0,1,2,.,l)而a1+1>b+1, 则称x大于y或y小于x,分别记为x>y或y<x
2 第一章实数集与函数 对于负实数x,y,若按上述规定分别有-x=-y与-x>-y,则分别称x =y与x<y(或y>x).另外，自然规定任何非负实数大于任何负实数. 以下给出通过有限小数来比较两个实数大小的等价条件.为此，先给出如下 定义. 定义2设x=a0a1a2.an.为非负实数.称有理数 xn=a0a1a2“an 为实数x的n位不足近似，而有理数 工n=xm+10 称为x的n位过剩近似，n=0,1,2,. 对于负实数x=-ao.a1a2.an.,其n位不足近似与过剩近似分别规定 为 五=-a0a1a2a,10与z=-aa1a2a 1 注不难看出，实数x的不足近似xm当n增大时不减，即有x0≤x1≤ x2≤.，而过剩近似xn当n增大时不增，即有x0≥x1≥x2≥. 我们有以下的 命题设x=ao.a1a2.与y=b0.b1b2.为两个实数，则x>y的等价条 件是：存在非负整数n,使得 In >yn, 其中xn表示x的n位不足近似，yn表示y的n位过剩近似. 关于这个命题的证明，以及关于实数的四则运算法则的定义，可参阅本书附 录Ⅱ第八节. 例1设xy为实数，x<y.证明：存在有理数r满足 x<r<y. 证由于x<y,故存在非负整数n,使得xn<y.令 r=(In +y), 则r为有理数，且有 x≤xn<r<yn≤y, 即得x<r<y 0 为方便起见，通常将全体实数构成的集合记为R,即 R=xx为实数 实数有如下一些主要性质： 1.实数集R对加、减、乘、除（除数不为0）四则运算是封闭的，即任意两个