导数的定义例验证求导公式(x2)=2x。记y = x2, Ay = (xo + Ax)2 - x = 2xoAx + Ax2Ay则 lim lim(2xo + △x) = 2xo,△x-04x4x-0所以, y'(x) = 2x。艾萨克·牛顿（IsaacNewton）的流数法及第二次数学危机。微积分创立的漫长过程
7 导数的定义 例 验证求导公式 � � ′ = ��。 记 � = � � ，∆� = �� + ∆� � − �� � = ���∆� + ∆� � ， 则 𝐬� ∆�→� ∆� ∆� = 𝐬� ∆�→� ��� + �� = ���， 所以，� ′ � = ��。 艾萨克·牛顿（Isaac Newton）的流数法及第二次数学危机。 微积分创立的漫长过程
基本初等函数的导数例 验证求导公式 (x)'=αxα-1 (x>0, α ER)。记y= x~, Ay = (x + Ax)~ - x~ = x~[(1 +)" - 1]At1+1Ay则 y'(x) = limlimxα(1 +u)α-1 ~ αuAx4x-04xAx-0Ax(1+)ara-1x= x~ limxα limAxAx=0 AxAx→0(x-1)'=-1例(x≠0)，求导公式可在相应定义域中应用。1.2
8 基本初等函数的导数 例 验证求导公式 � � ′ = �� �−� � > �, � ∈ � 。 记 � = � � ，∆� = � + ∆� � − � � = � � � + �� � � − � ， 则 � ′ � = 𝐬� ∆�→� ∆� ∆� = 𝐬� ∆�→� � � �+ �� � �−� ∆� = � � 𝐬� ∆�→� �+ �� � �−� ∆� = � � 𝐬� ∆�→� � �� � ∆� = �� �−� 。 例 � � ′ = � −� ′ =− � � � � ≠ � ，求导公式可在相应定义域中应用。 � + � � − � ∼ ��
基本初等函数的导数例验证求导公式(er)'=er。记y = e*, Ay = ex+Ax - ex = e*[e4x - 1],eAx-1Ayetlimexeu-1~ulim则 y(x) =CAx△x-04x4x-→0一般有 (ax)'= axlna (a >0, a ± 1)
9 基本初等函数的导数 例 验证求导公式 � � ′ = � � 。 记 � = � � ，∆� = � �+�� − � � = � � � �� − � ， 则 � ′ � = 𝐬� ∆�→� ∆� ∆� = 𝐬� ∆�→� � � � ��−� ∆� = � � 。 一般有 � � ′ = � � ��� � > �, � ≠ � 。 � � − � ∼ �
基本初等函数的导数1例验证求导公式(lnx)'=xx+△x记y = lnx, Ay = ln(x + Ax) - lnx = Inxinx+Ax则 y(x) = limlim4x-04xx4x-04x1= Jim1In (4x)4xA(1 +4lim -In=lne:x°Ax-0xAxx4x-→0x1进一步有 (ln|xD)'x(a >0, a± 1)。一般有(logalx)"xlna10
10 基本初等函数的导数 例 验证求导公式 ��� ′ = � � 。 记 � = ���，∆� = �� � + �� − ��� = �� �+�� � ， 则 � ′ � = 𝐬� ∆�→� ∆� ∆� = 𝐬� ∆�→� � �� �� �+�� � 一般有 𝐜�� � ′ = � ���� � > �, � ≠ � 。 = 𝐬� ∆�→� � � � �� �� � + �� � = 𝐬� ∆�→� � � �� � + �� � � �� = � � ��� = � � 。 进一步有 �� � ′ = � �
基本初等函数的导数例验证求导公式(sinx)=cosx。Ax记y = sinx, Ay = sin(x +Ax)- sinx = 2sinCO22AxAylim则 y'(x) = limsinCO:2Ax-04xAx→04xAxsinAx2limlimcossinu~uxcosx。4x24x-→04x-02类似有(cosx)'=sinx。福
11 基本初等函数的导数 例 验证求导公式 𝐬�� ′ = 𝐜��。 记 � = 𝐬��，∆� = 𝐬� � + �� − 𝐬�� = �𝐬� �� � 𝐜� � + �� � ， 则 � ′ � = 𝐬� ∆�→� ∆� ∆� = 𝐬� ∆�→� � �� 𝐬� �� � 𝐜� � + �� � 类似有 𝐜�� ′ = 𝐬��。 = 𝐬� ∆�→� 𝐬� �� � �� � 𝐬� ∆�→� 𝐜� � + �� � = 𝐜��。 𝐬�� ∼ �