《高等数学》课程教学资源（课件讲稿）第十一章 曲线积分与曲面积分 11-2 对坐标的曲线积分

(或称第二类曲线积分)，记作 Pxd=∑P八5m)A 类似地，如果作和∑Q(5,7,)△y,如果当各小弧段长度 的最大值入→O时，这和的极限总存在，则称此极限为 函数Q(x,y)在有向曲线弧L上对坐标的曲线积分 (或称第三类曲线积分)，记作 ,(.)dym()Av 其中P(x,y),Q(x,y)称为被积函数，L称为积分弧段 或积分曲线

( , 或称第二类曲线积分） 记作 0 1 ( , )d lim ( , ) . n i i i L i P x y x P x          1 ( , ) 0 , , ( , ) ( , n i i i i Q y Q x y L y       类似地,如果作和 ,如果当各小弧段长度 的最大值 时 这和的极限总 对坐标 的曲线积分 存在 则称此极限为 函数 在有 第二类曲线积 向曲线弧 上 或称 分） 记作 0 1 ( , )d lim ( , ) . n i i i L i Q x y y Q y          其中 称为被积函数 , L 称为积分弧段 或 积分曲线

3.存在条件：当P(x,y),Q(x,y)在光滑曲线弧L 上连续时第二类曲线积分存在 4.组合形式：∫P(x,)d+∫Q(x,d =[P(x.)dx+O(x.y)dy =∫F(x,-d 其中F(xy)=P(x,y)i+O(x,y)j,d正=dxi+dy 表示变力F(x,y沿着有向曲线弧L所作的功

3.存在条件： 当P x y Q x y L ( , ), ( , )在光滑曲线弧 4.组合形式: ( , )d ( , )d L L P x y x Q x y y    ( , ) d . L   F x y r  其中 F x y P x y i Q x y j r xi yj ( , ) ( , ) ( , ) , d d d .     ( , )d ( , )d L   P x y x Q x y y  表示变力 F x y L ( , ) . 沿着有向曲线弧 所作的功 上连续时, . 第二类曲线积分存在

5推广：空间有向曲线弧 ∫Px,y2d=1im∑P(5n,S,)△x 2>0 i=] J0x,y=l∑05n5)Ag i= ∫R(x,y,z)d=lim∑R(5,n,5)△ →0

5.推广: 空间有向曲线弧 0 1 ( , , )d lim ( , , ) . n i i i i i P x y z x P x            0 1 ( , , )d lim ( , , ) . n i i i i i Q x y z y Q y            0 1 ( , , )d lim ( , , ) . n i i i i i R x y z z R z           

6.性质 (1)若L可分成k条有向光滑曲线弧L,(i=1,.,k) 则J,P(x,ydx+Qx,ydy 2a+ (2)用L-表示L的反向弧，则 JP(x,y)dx+()dy=-,P(x.)dx+(x.y)dy 说明： ·对坐标的曲线积分必须注意积分弧段的方向]

6. 性质 (1) 若 L 可分成 k 条有向光滑曲线弧   L P(x, y)dx Q(x, y)dy     k i Li P x y x Q x y y 1 ( , )d ( , )d (2) 用L－ 表示 L 的反向弧 , 则     L P(x, y)dx Q(x, y)dy 则 说明: • 对坐标的曲线积分必须注意积分弧段的方向 !