(3) 图 ①26 U(05) : (Fi2)/≤Mf2)= Cn @-20)",:C-n =D (n=l2-)Cn$>ICa S13-2] n+1 /0b]"$M-pn- ztP = mp"->0 (p>0)
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e例3 说明z=0为的奇点类型。7e-1解2!n!7Zn0<z<+802!n!无负幂项er-1所以 z=0为的可去奇点Ze"-1因为另解limlime"=z-0z-→07e"-1所以 z=0为的可去奇点Z
例3 说明 z = 0 为 z e z −1 的奇点类型. 解 = − z e z 1 , ! 1 2! 1 1 = + ++ z n−1 + n z 0 z + 所以 z = 0 为 的可去奇点. z e z −1 无负幂项 另解 z z z z e z e 0 0 lim 1 lim → → = − 因为 所以 z = 0 为 的可去奇点. z e z −1 1) ! 1 2! 1 (1 1 2 + + ++ +− n z n z z z = 1
2极点定义如果Laurent级数中只有有限多个z-zo的负幂项,其中关于（z-zo）-的最高幂为(z-zo）-m即f(z)=c-m(z-z)" +..+c_2(z-z)-+c(z-z)(m ≥1, c-m ± 0)+ Co +ci(z - zo) + ..级那么孤立奇点zo称为函数f(z）的m阶极点
2 极点 1 1 0 2 0 2 0 ( ) ( ) ( ) ( ) − − − − − − f z = c z − z + + c z − z + c z − z m m ( 1, 0) −m + + ( − ) + m c 0 1 0 c c z z 1 0 ( ) − z − z ( ) , 0 m z z − 其中关于 的最高幂为 − 即 那么孤立奇点 z0 称为函数 f (z) 的 m 阶极点. 定义 0 如果Laurent级数中只有有限多个 z − z 的 负幂项
由极点的定义f(z)=cm(z-z)" +..+c2(z-zo)-+c(z-z0)+Co +c(z- zo)+...=(z -zo)-m [c-m +c-m+(z-zo)+...+c,(z-zo)"+m +...(m≥1, c-m ±0)记 g(z)=c-m +c-m+1(z-zo)+..+c,(z-zo)n" +..1则f(z)=(z-20)m 8(2)
( ) ( ) 1 ( ) 0 g z z z f z m − 则 = 1 1 0 2 0 2 0 ( ) ( ) ( ) ( ) − − − − − − f z = c z − z + + c z − z + c z − z m m ( 1, 0) −m m c + c0 + c1 (z − z0 ) + 由极点的定义 ( ) [ ( ) ( ) ] = − 0 + 1 − 0 ++ − 0 + + − − + − n m m m n m z z c c z z c z z 记 g(z) = c−m + c−m+1 (z − z0 ) ++ cn (z − z0 ) n+m +
注意到：g(z) = C-m +c-m+1(z - zo) +c-m+2(z -zo) + ..在z-zol<内是解析函数，且 g(zo) 0由此得：zo为函数f(z)的m阶极点的充要条件是(z-可)mg(z)f(z) = -(z- zo)m其中 g(z)在zo的邻域内解析,且 g(zo) ≠ 0.3z + 2例5 有理分式函数 (2)=2(2+2)z=0是二级极点，Z=-2是一阶极点
注意到: g(z) = c−m + c−m+1 (z − z0 ) + c−m+2 (z − z0 ) 2 + , 在z − z0 内是解析函数 且 g(z0 ) 0 z0 为函数 f (z) 的m阶极点的充要条件是 例5 有理分式函数 , ( 2) 3 2 ( ) 2 + + = z z z f z z = 0是二级极点, z = −2 是一阶极点. 由此得： m z z g z f z ( ) ( ) ( ) − 0 = 其中 g(z) 在 z0 的邻域内解析, 且 ( ) 0. g z0