3.函数的零点定义设解析函数f(z)在区域D内的一点z处的值为零，则称z为解析函数f(z)的零点例6 =0，=1是函数f(z)=z(z-1)3的零点定义如果f(z)在点z的邻域内解析，且有f(z) = (z-zo)my(z)其中y(z)在点z解析，且y(z)≠0,m≥1,则称z.为f(z)的m级零点
3.函数的零点 例6 0, 1 ( ) ( 1) . z = z = 是函数 f z = z z − 3的零点 定 义 设解析函数 f (z)在区域D内的一点 0 z 处 的 值为零，则称 0 z 为解析函数 f (z)的零点. 定义 如果 f (z)在点 0 z 的邻域内解析，且有 ( ) ( ) ( ) 0 f z z z z m = − 其中 (z)在点 0 z 解析，且(z0 ) 0,m 1， 则称 0 z 为 f (z)的 m 级零点
(1）m级零点的判别方法如果f(z)在zo解析,那末zo为f(z)的m级零点的充要条件是f(n)(zo) = 0, (n = 0,1,2,...m-1); f(m)(zo)± 0.例7求以下函数的零点的级数：f(z) = z3 -1,由于 f'(1)=3z2解日=3±0,7=1知 z=1是f(z)的一级零点
⑴ m 级零点的判别方法 零点的充要条件是 0 如果 f (z) 在 z 解析, 那末 z0 为 f (z) 的 m 级 ( ) 0, ( 0,1,2, 1); 0 ( ) f z = n = m − n ( ) 0. 0 ( ) f z m 由于 1 2 (1) 3 = = z f z 知 z = 1 是 f (z) 的一级零点 . 解 例7 求以下函数的零点的级数: ( ) 1, 3 f z = z − = 3 0
如果z为f(z)的m级零点证 (必要性）由定义： f(z)=(z-zo)"(z)设 (z)在z,的Taylor级数展开为：p(z) = co + ci(z - zo) +c2(z - zo)2 +...其中 co=(zo)± 0,从而f(z）在z的Taylor级数展开式为f(z) = Co(z - zo)" + ci(z - zo)m++ c2(z - zo)m+2 + ..展开式的前m项系数都为零,由Taylor级数的系数公式知: f(")(zo)= 0,(n = 0,1,2,..m-1);并且充分性证明略f(m)(z) = m!c, ± 0
从而f (z)在z0的Taylor级数展开式为1 0 0 1 0 ( ) ( ) ( ) + = − + − m m f z c z z c z z + c2 (z − z0 ) m+2 + 展开式的前m项系数都为零 ,由Taylor级数的系数 公式知: ( ) 0, ( 0,1,2, 1); 0 ( ) f z = n = m − n 并且 ( ) 0 0 ( ) ! 0. m f z m c = 充分性证明略 . 证 (必要性) 由定义: ( ) ( ) ( ) 0 f z z z z m = − 设 0 (z)在z 的Taylor级数展开为: ( ) ( ) ( ) , 2 z = c0 + c1 z − z0 + c2 z − z0 + 如果 z0 为 f (z) 的 m 级零点 其中 ( ) 0, c0 = z0
由定义判别：f(z）的Laurent展开式中含有z-z的负幂项为有限项由定义的等价形式判别：在点Z的某去心邻域内g(z)f(z) =(z - zo)m3琪中 g(z)在zo的邻域内解析,且 g(zo)≠ 0.由零点判别：如果zo是f(z）的m阶极点，那么z就是1的m级零点.反过来也成立f(z)lim f(z) = o 判断.由极限判别：Z-→Z
f (z) 0 的Laurent展开式中含有 z − z 的负幂项为有限项. 在点 z0 的某去心邻域内 m z z g z f z ( ) ( ) ( ) − 0 = 其中 g(z) 在 z0 的邻域内解析, 且 ( ) 0. g z0 由定义判别： 由定义的等价形式判别： 由极限判别： = → lim ( ) 0 f z z z 判断 . 如果 0 z 是 f (z) 的 m 阶极点, ( ) 1 f z 的 m 级零点. 0 那么 z 就是 反过来也成立. 由零点判别：
例4 函数有些什么奇点，如果是极点，指出sinz它的阶数解函数的奇点是使 sinz=0的点,这些奇点z=k元（k=0,±1,±2..）是孤立奇点因为 (sinz)l=k元 = cos /=km=(-1)* 0,所以z=k元是sin z的一级零点1即的一阶极点sinz
例4 函数 sin z 1 有些什么奇点, 如果是极点, 指出 它的阶数. 解 函数的奇点是使 sin z = 0 的点, 这些奇点 z = k (k = 0, 1, 2) 是孤立奇点. = = = z k z k 因为 (sinz) cosz 所以 z = k是sin z的一级零点，= (−1) 0, k sin z 1 即 的一阶极点