ex2.判别下列集合是否为向量空间. = 9299n 29n ∈R Solution.V是向量空间 因为对于V的任意两个元素 9299 B= (0 9025 b)∈V 有a+B=(0,a2+b2,…,an+bn)∈V aa=(0,an2,…,an)∈V1
ex2. 判别下列集合是否为向量空间. V x ( x x ) x xn R T 1 = = 0, 2 , , n 2 , , Solution. V 是向量空间 . 1 因为对于V1的任意两个元素 ( ) ( ) T n T = 0,a2 , ,an , = 0,b2 , ,b V , 1 ( ) 2 2 1 0,a b , ,a b V T 有 + = + n + n (0, , , ) . a2 a V1 T = n
ex3.判别下列集合是否为向量空间 2 29 ) x 29 ∈R Solution.V,不是向量空间 因为若a=(,a2…,an)∈V2, 则2a=(2,2a2,…,2an)≤V2 K
ex3. 判别下列集合是否为向量空间. V x ( x x ) x xn R T 2 = = 1, 2 , , n 2 , , Solution. 2 (2,2 , ,2 ) . a2 a V2 T 则 = n V 不是向量空间 . 2 (1, , , ) , 2 V2 a a T 因为若 = n
ex4.设a,b为两个已知的m维向量,集合 V={x=M+pb,∈R 试判断集合是否为向量空间 Solution.V是一个向量空间 因为若x1=41a+1b,x2=2+2b, 则有x1+x2=(1+12)+(1+2)b∈V, kx1=(k1)a+(k山1)b∈ 这个向量空间称为由向量a,b所生成的向量空
ex4.设a,b为两个已知的n维向量，集合 V = x = a + b, R 试判断集合是否为向量空间. Solution. x2 = 2a + 2b， 则有 ( ) ( ) , x1 + x2 = 1 + 2 a + 1 + 2 b V ( ) ( ) . kx1 = k1 a + k1 bV . , 间 这个向量空间称为由向量a b所生成的向量空 V是一个向量空间. , 因为若x1 = 1a + 1b
般地,由向量组a1,a2…,an所生成的向量空 间为 ={x=41a1+12n2+…+namA4,2,…,n∈R ex设向量组a1,…,am与向量组b1,…,b等价,记 V={=q1+2a2+…+3nm1,2,…,m∈R} 2={x=山1b1+2b2+…+b,山1,42,…H∈R 试证:V1= Proof K
V = x = 1a1 + 2a2 ++ mam 1 ,2 , , m R 间 一般地， 由向量组a1 ,a2 ,,am所生成的向量空 为 . , , , , , 5. , , , , 1 2 2 1 1 2 2 1 2 1 1 1 2 2 1 2 1 1 V V V x b b b R V x a a a R ex a a b b s s s m m m m s = = = + + + = = + + + 试证： 设向量组 与向量组 等价，记 Proof
设x∈V则x可由a1,…an线性表示 因a1,…,an可由b1,…,b线性表示,故x可由b1,…, b线性表示,所以x∈V2 这就是说,若x∈V1,则x∈V2 因此v1cV2 类似地可证:若x∈V2,则x∈V1, 因此v2cV 因为VcV2,V2CV1所以V=V2 证明两向量空间相等与证明两集合相等方法一样!
, , . 设x V1，则x可由a1 am线性表示 : , , 类似地可证 若x V2 则x V1 . 因为V1 V2，V2 V1，所以V1 = V2 线性表示， 因 可由 线性表示，故 可由 s m s b a , ,a b , ,b x b , , 1 1 1 . 所以x V2 这就是说，若x V1，则x V2， . 因此V1 V2 . 因此V2 V1 证明两向量空间相等与证明两集合相等方法一样!