中南大学：《线性代数》题解案例（双语版）chapter4（4）实对称矩阵的对角化

Chapter 4(4) 实对称矩阵的对角化

Chapter 4(4) 实对称矩阵的对角化

教学要求: 1.掌握实对称矩阵的性质; 2.掌握用相似变换化实对称矩阵为对角矩阵的 方法 K心

教学要求： 1. 掌握实对称矩阵的性质; 2. 掌握用相似变换化实对称矩阵为对角矩阵的 方法

.实对称矩阵的特征值与特征向量的性质 二.实对称矩阵的对角化

一 .实对称矩阵的特征值与特征向量的性质 二.实对称矩阵的对角化

实对称矩阵的特征值与特征向量的性质 1.实对称矩阵的特征值为实数 Proof.设为A的特征值,x=:为对应的特征向量 则Ax=Ax,x≠0. 用表示的共轭复数x=:表示的共轭向量, 则Ax=Ax=(x)=(ax)=x Mr'x=x'(nx=x'(ax=xAx (Ar)'x=(x)x=nx'lx

一 .实对称矩阵的特征值与特征向量的性质 1.实对称矩阵的特征值为实数. Proof. 设为A的特征值 , 则 Ax = x , x  0. 用 表示的 共轭复数 , 则 Ax = Ax = (Ax) , 1 表示x的共轭向量 x x x n          =  . 1 为对应的特征向量           = xn x x  xx = x(x) = x(Ax) = (Ax)x = (x) =  x. = xAx = (x)x = xx

即(λ-)xx=0 而xx=(x1 x1x1+…+xnXn≠0 =. 由于对称矩阵A的特征值为实数,所以齐次 线性方程组 (E-A)x=0 是实系数方程组由E-A=0知必有实的基础解 系,从而对应的特征向量可以取实向量. 2.实对称矩阵的特征向量为实向量

即 ( −  )xx = 0 ( )            = n n x x x x x  x  1 1 而 = x1x1 ++ xnxn  0   =  . , . , 0 ( ) 0 , 系 从而对应的特征向量可以取实向量 是实系数方程组 由 知必有实的基础解 线性方程组 由于对称矩阵 的特征值 为实数 所以齐次 − = − = E A E A x A i i i    2.实对称矩阵的特征向量为实向量