Chapter 4 33 國阵与舞阵对角
Chapter 4(3) 相似矩阵与矩阵对角化
教学要求: 1.了解相似矩阵的概念、性质及相似对角化的 充要条件 K心D
教学要求： 1. 了解相似矩阵的概念、性质及相似对角化的 充要条件
A 相似矩阵的定义与性质 二矩阵的对角化 K心[
一 .相似矩阵的定义与性质 二.矩阵的对角化
相似矩阵的定义与性质 1.定义 设4,B都是n阶方阵,若有可逆矩阵P,使 P AP=B, 则称B是A的相似矩阵,或说矩阵A与B相似 记为A~B. 对A进行运算PAP称为对A进行相似变换, 可逆矩阵P称为把A变成B的相似变换矩阵
一 .相似矩阵的定义与性质 1. 定义 , . , , , , 1 则称 是 的相似矩阵 或说矩阵 与 相似 设 都是 阶方阵 若有可逆矩阵 使 B A A B P AP B A B n P = − 记为 A ~ B. . , 1 可逆矩阵 称为把 变成 的相似变换矩阵 对 进行运算 称为对 进行相似变换 P A B A P AP A −
2.性质 (1)A~A;(∵E-AE=A) (2)若A~B,则B~A; (:PAP=B,∴PBP=A,即(P-)BP=A) (3)若A~B,B~C,则A~C; (∵PAP=B,9BQ=C, OP- APO=C, Bp(PO)A(P0)=C) (4)P-(4142)P=(P41P)(P12P); (5)P(k141+k242)P=k1PA1P+k2P-A2P; 其中k1,k2是任意常数
2. 性质 (1) A ~ A; ( .) 1 E AE = A − (2) 若A ~ B,则B ~ A; ( , 1 P AP = B − , 1 PBP = A − ( ) .) 1 1 1 P BP = A 即 − − − (3) 若A ~ B, B ~ C,则A ~ C; ( , 1 P AP = B − , 1 Q BQ = C − , 1 1 Q P APQ = C − − ( ) ( ) .) 1 PQ A PQ = C 即 − (4) ( ) ( )( ); 2 1 1 1 1 2 1 P A A P P A P P A P − − − = (5) ( ) ; 2 1 1 2 1 1 1 2 2 1 1 P k A k A P k P A P k P A P − − − + = + , . 其中k1 k2是任意常数