《工程数学（线性代数）》课程教学资源（PPT课件）第1章 线性方程组与矩阵

三、矩阵的乘法第1章线性方程组与矩阵16例3与B=2的乘积AB及BA求矩阵A=解ABBA注意：（1）矩阵乘法不满足交换律，即在一般情况下，AB+BA(2）尽管矩阵A与B满足AB=0，但是得不出A=O或B=0的结论

第1章 线性方程组与矩阵 16 求矩阵 1 1 2 2   − =     − A 与 2 1 6 3   =     − − B 的乘积 AB 及BA. 1 1 2 1 8 4 2 2 6 3 16 8      − − − = =           − − − AB ； 2 1 1 1 0 0 6 3 2 2 0 0      − = =           − − − BA . 三、矩阵的乘法 (1) 矩阵乘法不满足交换律，即在一般情况下， AB BA  . (2) 尽管矩阵 A 与 B 满足 AB O= ，但是得不出 A O= 或B O= 的结论. 注意： 例 3 解

三、矩阵的乘法17第1章线性方程组与矩阵矩阵乘法满足下列运算规律（假设运算都是可行的）：结合律：（AB)C=A(BC）；矩阵乘法对矩阵加法的分配律：A(B+C)=AB+AC，（A+B)C=AC+BC23(kA)B=A(kB)=k(AB) ;4EmAmn=AmxnE,=Amxn;5OmxAx=0;AxOx=0

第1章 线性方程组与矩阵 17 矩阵乘法满足下列运算规律（假设运算都是可行的）： 结合律：( ) = ( ) AB C A BC ； 三、矩阵的乘法 5 4 3 2 1 矩阵乘法对矩阵加法的分配律： A B C AB AC ( ) + = + ，( ) A B C AC BC + + = ； ( ) ( ) ( ) k k k A B A B AB = = ； O A O m s s n m n    = ； A O O m s s n m n    = . E A A E A m m n m n n m n    = = ；

>三、矩阵的乘法18第1章线性方程组与矩阵证明（1）结合律设矩阵A=a）是一个mxs矩阵，矩阵B=(b）是一个s×p矩阵，矩阵c=(c）是一个p×n矩阵由矩阵乘法的定义知，矩阵（AmxBsxp）Cpx与Am（BxpCpx）都有意义，且都是mXn矩阵只需验证这两个矩阵在相应位置的元素相等即可，矩阵AmBaxp中第行元素为ZabaZabaZaba，于是矩阵（AmBxp)Cpm中(i,j)元素为(aby j(ab. o,(2b abc同理可以验证矩阵4m(B,Cm)中(i,j)元素也是之之abc，，所以矩阵乘法的结合律成立,其余证明留给读者作为练习

第 1 章 线性方程组与矩阵 18 （1）结合律 设矩阵 ( )ij A = a 是一个m s  矩阵， 矩阵 ( )ij B = b 是一个 s p  矩阵，矩阵 ( )ij C = c 是一个 p n  矩阵. 由矩阵乘法的定义知，矩阵( ) A B C m s s p p n    与 ( ) A B C m s s p p n    都有意义，且都是m n 矩阵. 只需验证这两个矩阵在相应位置的元素相等即可. 矩阵 A B m s s p   中第i行元素为 1 2 1 1 1 , , , s s s ik k ik k ik kp k k k a b a b a b = = =    ， 于是矩阵 ( ) A B C m s s p p n    中( , ) i j 元素为 1 1 2 2 1 1 1 1 1 s s s s p ik k j ik k j ik kp pj ik kt tj k k k t k a b c a b c a b c a b c = = = = =       + + + =                 . 同理可以验证矩阵 ( ) A B C m s s p p n    中( , ) i j 元素也是 1 1 p s ik kt tj t k a b c = =  ，所以矩阵乘法的结合律成立 . 其余证明留给读者作为练习. 三、矩阵的乘法 证明

三、矩阵的乘法19第1章线性方程组与矩阵例4设有线性方程组ax+a2x,+.+a,x,=b,ai2aa2+a2x+...+a2nx=b,a21a2anr矩阵A称为该线性方程组的系数矩阵:::am2amlamnamX,+am2X2+...+ammx,=bm(x)ana+a++aubai2..ainA22aznX2a2ia+aX2+.+a...b,则有：Ax=B目::：:amlam2am+amx+...+amxaXb再根据矩阵相等的定义，该线性方程组可以用矩阵形式来表示：Ax=β

第 1 章 线性方程组与矩阵 19 设有线性方程组 矩阵 令 11 12 1 1 11 1 12 2 1 21 22 2 2 21 1 22 2 2 1 2 1 1 2 2 n n n n n n m m mn n m m mn n a a a x a x a x a x a a a x a x a x a x a a a x a x a x a x      + + +      + + +      = =                + + + Ax . 再根据矩阵相等的定义，该线性方程组可以用矩阵形式来表示： Ax =  三、矩阵的乘法 11 1 12 2 1 1 21 1 22 2 2 2 1 1 2 2 , n n n n m m mn n m a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b  + + + =  + + + =  + + + = 11 12 1 21 22 2 1 2 nn m m mn a a a a a a a a a       =       A 称为该线性方程组的系数矩阵. 例 4 12n xxx       =       x ， 12mbbb       =        则有：

三、矩阵的乘法20第1章线性方程组与矩阵定义方阵的方幂如下：A=4AA（这里k为正整数），并且规定：对非零方阵A，有A°=E方阵的方幂幕满足以下运算规律（这里k，1均为非负整数）：AA'=A+I;(A)=AW由于矩阵乘法不满足交换律，一般来讲（AB）+A*B*，（A+B)A+2.AB+B.只有当A与B可交换（即AB=BA）时，公式(AB)*=A*B*,(4+B) =A +2AB+B*,(4+B)(4-B)=AP-B 等才成立

第1章 线性方程组与矩阵 20 定义方阵的方幂如下： k k = 个 A AA A （这里 k 为正整数）， 并且规定：对非零方阵 A ，有 0 A E= . 方阵的方幂满足以下运算规律（这里k l, 均为非负整数）： k l k l + A A A= ；( ) l k kl A A = . 由于矩阵乘法不满足交换律，一般来讲( ) k k k AB A B  ，( ) 2 2 2 A B A AB B +  + + 2 . 只有当 A 与 B 可交换（即 AB BA = ）时，公式 三、矩阵的乘法 ( ) k k k AB A B = ,( ) 2 2 2 A B A AB B + = + + 2 ,( )( ) 2 2 A B A B A B + − = − 等才成立