《工程数学（线性代数）》课程教学资源（PPT课件）第1章 线性方程组与矩阵

1.矩阵的加法第1章线性方程组与矩阵11对于矩阵A=（a,）mn，称矩阵（-a）m为矩阵A的负矩阵，记为-A显然，A+(-A)=0mm定义矩阵A=（a）mx和B=（b,）mx的减法为A-B=A+(-B)=(a, -b,)

第1章 线性方程组与矩阵 11 对于矩阵 ( )ij m n a A =  ，称矩阵( )ij m n a−  为矩阵A 的负矩阵，记为−A. 显然， ( ) A A O + − = m n . 定义矩阵 ( )ij m n a A =  和 ( )ij m n b B =  的减法为： 1. 矩阵的加法 ( ) ( ij ij)m n a b  A B A B − = + − = −

2.矩阵的数乘12第1章线性方程组与矩阵定义4用一个数k乘矩阵A=(a）mn的所有元素得到的矩阵（ka，）称为矩阵的数乘，记为kA或者Ak，即kA= Ak =(ka)mxn矩阵的数乘运算满足如下的运算规律：设k，1是任意两个数，A,B是任意两个mxn矩阵，k(A+B)=kA+kB福(k+I)A=kA+IA(kl)A=k(LA)=l(kA)1A=A40A=0(-1)A=-A6矩阵的加法和矩阵的数乘统称为矩阵的线性运算

第1章 线性方程组与矩阵 12 用一个数 k 乘矩阵 ( )ij m n a A =  的所有元素得到的矩阵( ij)m n ka  称为矩阵的数乘，记为kA或者 Ak ， 矩阵的数乘运算满足如下的运算规律： 设k l, 是任意两个数， A B, 是任意两个m n 矩阵， 矩阵的加法和矩阵的数乘统称为矩阵的线性运算. 2. 矩阵的数乘 即 ( ij)m n k k ka  A A= = . 1 k k k ( ) A B A B +=+ 2 ( ) k l k l + = + A A A 3 1A A = ( ) ( ) ( ) kl k l l k A A A = = 4 0 m n 5 (− = − 1) A A 6 A O= 定义4

2.矩阵的数乘第1章线性方程组与矩阵130例1R设求A+B和2A-B20-32O3-10+22±1解A+B2333+201+04+34023×20x2322×22A-1B324031x23x2)+X6+16-28-3-0C

第1章 线性方程组与矩阵 13 3 0 2 1 2 1 1 3 4 0 2 3     − + = +         A B 3 1 0 2 2 1 1 0 3 2 4 3   − + + =     + + + 223 1 5 7   =     ； 3 0 2 1 2 1 2 2 1 3 4 0 2 3     − − = −         A B 3 2 0 2 2 2 1 2 1 1 2 3 2 4 2 0 2 3        − = −          2. 矩阵的数乘 例 1 设 3 0 2 1 3 4   =     A ， 1 2 1 0 2 3   − =     B ，求 A B+ 和 2A B− . 解 6 1 0 2 4 1 2 0 6 2 8 3   + − − =     − − − 7 2 3 2 4 5   − =    

三、矩阵的乘法第1章线性方程组与矩阵14定义5设矩阵A=（a）是一个mxp矩阵，矩阵B=(b）是一个pxn矩阵，定义矩阵A与B的乘积是一个mxn矩阵C=（c），其中矩阵C=(c）的第i行第，列元素c是由矩阵A的第i行元素iz“"，与矩阵B的第j列相应元素by，baj，"，b，乘积之和，即aibu=a,b,+a,zba,+...+apbp

第1章 线性方程组与矩阵 14 其中矩阵 ( )ij C = c 的第i 行第 j 列元素 ij c 是由矩阵 A 的第 i 行元素 1 2 , , , i i ip a a a 与矩阵B 的第 j 列相应元素 1 2 , , , j j pj b b b 乘积之和，即 三、矩阵的乘法 设矩阵 ( ) A = aij 是一个m p  矩阵，矩阵 ( )ij B = b 是一个 p n  矩阵，定义矩阵A与B 的乘积是 一个m n 矩阵 ( )ij C = c ， 1 1 2 2 1 = . p ij ik kj i j i j ip pj k c a b a b a b a b =  = + + + 定义5

三、矩阵的乘法第1章线性方程组与矩阵15-0例2与B=求矩阵A=的乘积AB121解因为矩阵A是2×3矩阵，矩阵B是3×3矩阵，A的列数等于B的行数，所以矩阵A与B可以相乘，乘积AB是一个2×3矩阵2AB22(3x1+(-1)×1+1×2 3x(-1)+(-1)×1+1x1 3×0+(-1)×1+1x(-1))2×1+2x1+0×22×(-1)+2×1+0×12×0+2x1+0×-1)0

第1章 线性方程组与矩阵 15 求矩阵 3 1 1 2 2 0   − =     A 与 1 1 0 1 1 1 2 1 1   −   =     −   B 的乘积 AB . 1 1 0 3 1 1 1 1 1 2 2 0 2 1 1   −   −   =         − AB 因为矩阵 A 是2 3 矩阵，矩阵 B 是3 3 矩阵， A 的列数等于 B 的行数，所以矩阵 A 与B 可 以相乘，乘积 AB是一个2 3 矩阵. 三、矩阵的乘法 例 2 解 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 1 1 1 1 2 3 1 1 1 1 1 3 0 1 1 1 1 2 1 2 1 0 2 2 1 2 1 0 1 2 0 2 1 0 1    + −  +   − + −  +   + −  +  − =    +  +   − +  +   +  +  −   4 3 2 4 0 2   − − =    