阶线性微分方程 )+b(x)y+c(x)=0 标准形式: d 非d +p(x)y=q(x)齐 齐 dx +(x)y=0次 次dx (1)如何解齐次方程? dy dx +p(x)y=0什麽类型? 2021/2/20
2021/2/20 6 ( ) + b(x) y + c(x) = 0 dx dy a x + p(x) y = 0 dx dy p(x) y q(x) dx dy + = (1) 如何解齐次方程？ 非 齐 次 齐 次 + p(x) y = 0 可分离型！ dx dy 标准形式： 什麽类型？ 一阶线性微分方程
分离变量 -p(xdx p()dx 解得y=Ce 齐次通解 注意: 是p(x)一个原函数 不是不定积分! 齐次通解的结构: 设y(x)是y+p(x)y=0的一个非 零解,则通解卩=C1(x) 2021/2/20
2021/2/20 7 分离变量 p x dx y dy = − ( ) = − p x dx y ce ( ) 是p(x)一个原函数 不是不定积分！ 解得 齐次通解 注意： 齐次通解的结构： , ( ) ( ) ' ( ) 0 1 1 y Cy x y x y p x y = + = 零 解 则通解 设 是 的一个非
(2)用常数变异法解非齐次方程 +p(x)y=q(x)() dy 对应于(1)的 +p(x)y=0 (2) 齐次方程 (2)的通解为=CJm(x)((x) 假定(1)的解具有形式 y=C(xv(x 将这个解代入(1),经计算得到 2021/2/20
2021/2/20 8 p(x) y q(x) (1) dx dy + = (2)用常数变异法解非齐次方程 假定(1)的解具有形式 ( ) ( ) y = C x y1 x 将这个解代入(1) , 经计算得到 + p(x) y = 0 (2) dx dy 齐次方程 对应于(1)的 (2) ( ) 1 ( ) y Ce Cy x p x d x = = − 的通解为
C(x)y1(x)+C(x)1(x) +p(ac(r)y(x)=q(x) y(x)是Q的解, C(x)y,(x)+p(x)c(x)y(r)=0 化简得到C(x)(x)=q(x) 即 C(x)=g(xeJp()de 2021/2/20
2021/2/20 9 y1 ( x ) 是 （2）的解， ( ) '( ) ( ) ( ) ( ) 0 C x y1 x + p x C x y1 x = ( ) ( ) ( ) '( ) 1 1 C x y x + C x y x ( ) ( ) ( ) ( ) + p x C x y1 x = q x 化简得到 ( ) ( ) ( ) 1 C x y x = q x = p x dx C x q x e ( ) 即 ( ) ( )
积分C(x)=a(x)e p(x)dx +c 从而得到非齐次方程(1)的通解 p(x)dx (C+q(x)ed 非齐次通解 或 p(x)dx x p(x)dx (C+ g(x) x 2021/2/20
2021/2/20 10 积分 C x q x e C p x d x + = ( ) ( ) ( ) 从而得到非齐次方程(1)的通解 ( ( ) ) ( ) ( ) + = − y e C q x e dx p x d x p x d x 非齐次通解 ( ( ) ) 0 0 0 ( ) ( ) + = − x x p x d x p x d x y e C q x e dx x x x 或 x