定义设∑是光滑的有向曲面，函数R(x,y,z)在∑ 上有界.把∑任意分成n个小块△S(△S同时也代 表第小块曲面的面积)，△S,在xOy面上的投影 为（△S,),设(5,7,5，）是△S,上任意取定的一点 作乘积R(5,7,5,(△S,)(i=1,2,n,并作和 ∑R(5,7,S△S)w,如果当各小块曲面的直径 最大值入→0时，这和的极限存在，则称此极限 为函数(x,y,)在有向曲面∑上对坐标x、的 曲面积分或第二类曲面积分，记作R(x,y,2)dxd
定义 设 是光滑的有向曲面 函数R x y z ( , , )在 上有界. ( i i 把 任意分成n S S 个小块 同时也代 表第i小块曲面的面积), i S xOy 在 面上的投影 ( )i xy 为 S , ( , , ) , i i i i 设 是S 上任意取定的一点 ( , , )( ) ( 1,2, , ), R S i n i i i i xy 作乘积 并作和 1 ( , , )( ) , n i i i i xy i R S 如果当各小块曲面的直径 最大值 0 , , 时 这和的极限存在 则称此极限 为函数R x y ( , , )z 在有向曲面上对坐标x y 、 的 曲面积分或第二类曲面积分, R x y z x y ( , , )d d . 记作
即 「R(x,.eddy=lim∑R5.n.5,X△S) 类似地，P(x,y,)在有向曲面∑上对坐标以二的 曲面积分，记作厂P(x,y,)d止.Q(x,y,)在有向曲 面Σ上对坐标、x的曲面积分，记作『(x,y,)d 且P,y=☏之P5h,5AS)-, i=1 ∬2x,y,2)ddr=lm∑Q5,n,5,△S)- PQ,R叫做被积函数，Σ叫做积分曲面
即 0 1 ( , , )d d lim ( , , )( ) , n i i i i xy i R x y z x y R S 类似地, P y ( , , ) x z 在有向曲面上对坐标y、z的 曲面积分, P x y z y z ( , , )d d . 记作 Q x y z ( , , )在有向曲 面上对坐标z x 、 的曲面积分, Q x y z z x ( , , )d d . 记作 且 0 1 ( , , )d d lim ( , , )( ) , n i i i i yz i P x y z y z P S 0 1 ( , , )d d lim ( , , )( ) . n i i i i zx i Q x y z z x Q S P, Q, R 叫做被积函数; 叫做积分曲面
·积分的存在性 当P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,2)在有向光滑曲面Σ上 上连续，则对坐标的曲面积分存在 组合形式 d-dR(dxdy P(=)dvd+(=)d=dx+R(x=)dxdy 引例中，流过有向曲面Σ的流体的流量为 =P(x,y,=)dyd=+O(x,y,=)d=dx+R(x.y,=)dxdy
则对坐标的曲面积分存在. • 积分的存在性. 在有向光滑曲面 上 •组合形式. P x y z y z Q x y z z x R x y z x y ( , , )d d ( , , )d d ( , , )d d P x y z y z Q x y z z x R x y z x y ( , , )d d ( , , )d d ( , , )d d 引例中, 流过有向曲面 的流体的流量为 P x y z y z Q x y z z x R x y z x y ( , , )d d ( , , )d d ( , , )d d . 上连续