d*-P(x)ue-[ p(x)dxu'e-J p(x)dx+ P(x)ue-[ p(x)dx=Q(x)u'(x)e-J P(x)d即x =Q(x),积分得 u(x)=Je(x)el P(x)dcadx +C,一阶线性非齐次微分方程的通解为：*dx + CJe- (r)day=If e(x)el ()at= Ce-J p(x)dxP(x)dx+e (w)a J (x)e/ Pdxte非齐次方程特解对应齐次方程通解
( ) ( ) , ( ) u x Q x e dx C P x dx ( ) ( ), ( ) u x e Q x P x dx 积分得 一阶线性非齐次微分方程的通解为: ( ) ( ) [ ( ) ] P x dx P x dx y Q x e dx C e Ce e Q x e dx P x dx P x dx P x dx ( ) ( ) ( ) ( ) 对应齐次 方程通解 非齐次方程特解 ( )d ( )d ( )d ( ) ( ) ( ) P x x P x x P x x u e P x ue P x ue Q x 即
2ydy(x+1)%例1.解方程dxx+12dxdy2ydy即：0,解：先解dxx+1x+1y积分得In||=2In|x+1|+In|C|,即 y=C(x+1)用常数变易法求特解。令y=u(x)·(x+1)",则y' =u'.(x+1)° +2u·(x+1)代入非齐次方程得 u'=(x+1)"=号(x+1)*+C解得(x+1/%+c故原方程通解为=(x+1)2
例1. 解方程 5 2 d 2 ( 1) . d 1 y y x x x 解: 先解 d 2 0 , d 1 y y x x 即 d 2d 1 y x y x 积分得 ln 2ln 1 ln , y x C 即 2 y C x ( 1) 用常数变易法求特解. 令 2 y u x x ( ) ( 1) , 则 2 y u x u x ( 1) 2 ( 1) 代入非齐次方程得 1 2 u x ( 1) 解得 3 2 2 ( 1) 3 u x C 故原方程通解为 3 2 2 2 ( 1) ( 1) 3 y x x C