(,yao- lim Zf(5, m)Ao →0 被积 被面 积分 积积积 函变 表元分 数 达素和 式 注意: (1)若二重积分存在,则为一确定数值; (2)若二重积分存在,则取分割为平行坐标轴的直线 网,此时除靠近边界的小区域外均为小矩形, K心
积 分 区 域 D f (x, y)d i i n i i f = = → lim ( , ) 1 0 . 积 分 和 被 积 函 数 积 分 变 量 被 积 表 达 式 面 积 元 素 注意: (1) 若二重积分存在, 则为一确定数值; (2) 若二重积分存在, 则取分割为平行坐标轴的直线 网,此时除靠近边界的小区域外均为小矩形
H 口口 则△G=AxAy,面积元素=d, 则∫f(x,y)do=』(x,ydd D D (3)引例中曲顶柱体体积为 V=f(x, y)dxdy, D (4)定积分中△x可正可负故下限可大于上限, 而这里△a;>0,计算时须注意 (5)存在性问题:若fx)在闭区域D上连续, 则二重积分存在 K心
x y o D x y , d dxdy, 则 i = j k 面积元素 = ( , ) ( , ) ; = D D 则 f x y d f x y dxdy (3) 引例中曲顶柱体体积为 ( , ) ; = D V f x y dxdy 0, ; (4) , , 而这里 计算时须注意 定积分中 可正可负 故下限可大于上限 i xi (5) 存在性问题: 若f(x,y)在闭区域D上连续, 则二重积分存在
3)几何意义:f(x,y)20时,f(x,yd小为体积 D f(x,y)<0时,j(x,)dd为体积但本身值为你 故』f(x,y)表示曲顶柱体体积的代数和 D 6-z=x2+ =x ty V=SVx2+32dxdy V=J(6-x2-y2dedy D D 表示哪里? 表示哪里? K心
3)几何意义： ( , ) 0时, ( , ) 为体积; D f x y f x y dxdy ( , ) 0时, ( , ) 为体积,但本身值为负; D f x y f x y dxdy 故 ( , ) 表示曲顶柱体体积的代数和. D f x y dxdy x y z o a 2 2 z = x + y ? 2 2 表示哪里 = + D V x y dxdy x y z o a 2 2 6 − z = x + y ? (6 ) 2 2 表示哪里 = − − D V x y dxdy
2.二重积分的性质 性质1.J4f(x,y)lo=kf(x,y)do(为常数) D D 性质2.f(x,y)±g(x,y) D =』f(x,y)do土g(x,y)la D 性质3对区域具有可加性(D=D1+D2) ∫f(x,y)do=f(x,y)da+』(x,y)da DI 性质4若为D的面积,=∫1=∫d D K心
2. 二重积分的性质 性质1. kf (x, y)d k f (x, y)d (k为常数). D D = 性质2. D [ f (x, y) g(x, y)]d ( , ) ( , ) . = D D f x y d g x y d 性质3. 对区域具有可加性 ( , ) ( , ) ( , ) . 1 2 = + D D D f x y d f x y d f x y d ( ) D = D1 + D2 性质4. 若 为D的面积， 1 . = = D D d d