注意:A可逆分A为非奇异矩阵 定理2设A,B是n阶方阵,若AB=E,则4,B都可逆,且 1=B B-1=A 证明∵AB=E=1,故A≠0,B≠0, 因而A,B可逆;且 A=AE=A(AB)=(A AB=EB=B B=EB-=(AB)B-=A(B-B=E=4
注意： A可逆 A为非奇异矩阵. 定理2. , . , , , , , 1 1 A B B A A B n AB E A B = = = − − 设 是 阶方阵 若 则 都可逆 且 A B = E = 1, 故 A 0, B 0, 因而A,B可逆;且 A A E −1 −1 = ( ) 1 A AB − = (A A)B −1 = = EB = B. 证明 −1 −1 B = EB 1 ( ) − = AB B ( ) 1 A B B − = = AE = A
定理3.设n阶方阵A,B可逆则 (1)A4可逆,且(A-)1=A; (2)A1= (3)(A)-1=(A-1 (4)孔≠0时,(4)11 (5)AB可逆,且(AB)1=B-1A-1 证明∵A可逆:AA1=E, (A=A1=E=1≠0从而Ax1≠0 A可逆,且(A)1=A K
定理3. 设n阶方阵A,B可逆,则 (5) , ( ) . ; 1 (4) 0 ,( ) (3) ( ) ( ) ; (2) ; (1) , ( ) ; 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 − − − − − − − − − − − − = = = = = AB AB B A A A A A A A A A A 可逆 且 时 可逆 且 证明 , , 1 A AA = E 可逆 − (1) 1 0, 1 1 = = = − − 故 A A AA E 0, 1 − 从而A , ( ) . 1 1 1 A A = A − 可逆 且 − −