11 2 b, 依次得 rI r.n-r 从而求得原方程组的n-P个解: 11 bu2 1,n-r 2 2
11 依次得 xr x 1 , b b r − − = 0 0 1 1 11 1 , 0 1 0 2 12 2 − − = br b . b b r,n r ,n r n r − − = − − − 1 0 0 1 从而求得原方程组的 n− r 个解： . b b , r,n r ,n r − − − − 1 , b b r − − 2 12 , b b r − − = 1 11
定理7在齐次线性方程组有非零解的情况之下,它有 基础解系,并且基础解系所含向量的个数等于n这 里r表示系数矩阵的秩(nr也是自由未知量的个数 证明设齐次线性方程组 a1x1+a12X2+…+a1nxn=0 I1x1+2+.+X n n =0(1 ,1x1+a,2x2+…+ 0 sn n 的系数矩阵的秩为r,不妨设左上角的r阶子式非零 12
12 定理 7在齐次线性方程组有非零解的情况之下，它有 基础解系，并且基础解系所含向量的个数等于n-r,这 里r表示系数矩阵的秩(n-r也是自由未知量的个数). 设齐次线性方程组 + + + = + + + = + + + = 0 0 0 1 1 2 2 2 1 1 2 2 2 2 1 1 1 1 2 2 1 s s s n n n n n n a x a x a x a x a x a x a x a x a x （1） 证明 的系数矩阵的秩为r, 不妨设左上角的r 阶子式非零
于是方程组(1)可以改写成 111+…+a1rXr=-1r+1xr+1=…-1nn 21x1+…+a2rxr=-2r+1Xr+1-…-2nn (3) arix+.+arrxr=-arr+1r+1 rn n 当r=n时,方程组3)只有零解(没有基础解系) 当r<n时,把自由未知量的任意一组值代入方程组3) 得到方程的一个解.用nr组数 (1,0,…,0),(0,1,…,0),…,(0,0,,1)未知量(x1,x2,…,x) 就得到方程组的nr个解: 13
13 于是方程组（1）可以改写成 + + = − − − + + = − − − + + = − − − + + + + + + r r r r r r r r n n r r r r n n r r r r n n a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x 1 1 1 1 2 1 1 2 2 1 1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 当r=n时，方程组(3)只有零解(没有基础解系) 当r<n时，把自由未知量的任意一组值代入方程组(3) 得到方程的一个解. （3） 用n-r组数 (1,0, ,0),(0,1, ,0), ,(0,0, ,1) ( , , , ), 未知量 x1 x2 xr 就得到方程组的 n-r 个解:
71=( 115-1251r51y0 2=(C212C22…,C2r (5) n-r12 0,0,…,1) 因为单位向量组线性无关,故(5是一个线性无关组 设 (c1,C2,…yCr,Cr+1,…Cn)(6) 是方程组(1)的一个解, 所以,线性组合 r+11+Cr+272+…+cn1n-r (7) 也是方程组()的一个解
14 . ( , , ,0,0, ,1) ( , , , ,0,1, ,0) ( , , , ,1,0, ,0) 1 2 2 1 2 2 2 1 1 1 1 2 1 = = = − − − n r n r n r r r r c c c c c c c c （5） 因为单位向量组线性无关，故(5)是一个线性无关组. 是方程组 的一个解， 设 (1) ( , , , , , , ) 1 2 r r 1 n c c c c c = + （6） 也是方程组 的一个解， 所以，线性组合 (1) r 1 1 r 2 2 n n r c c c + + + ++ − （7）
比较6)、(7)的后nr个分量得知,自由未知量有相 同的值,从而这两个解完全相同,即 n=Cr+in1+Cr+2n2+''+Cnnn-r 任意一个解都可以表为m1,m2,…,n的线性组 由基础解系的定义知: 方程的任意基础解系均等价,故基础解系向量个数 为n-r个 15
15 比较(6),(7)的后n-r 个分量得知，自由未知量有相 同的值，从而这两个解完全相同，即 r r n n r c c c = +1 1 + +2 2 ++ − 任意一个解都可以表为1 ，2 ， ,n−r 的线性组合。 由基础解系的定义知： 方程的任意基础解系均等价，故基础解系向量个数 为n-r个