第一章复数与扩充复平面1.8.3保交比性任取扩充复平面内的四个不同点21，22，23，24（允许取无穷远点）.我们定义交比(第二岁) (第二岁)(1-7)(21, 22, 23, 24) :=7如果2中某点是无穷远点，交比定义可以简化比如24=时，(21,2,0: ):- (二) (二)又如 21 = 80 时,23-22(21, 22, 23, 24) : =e.o定理1.8.2（保交比性）分式线性变换保持交比不变，即对(2）=书及Wi=(2)(i=1,2,3,4)有(W1,W2,w3,w4) = (21, 22, 23,24)证明由引理1.8.3.我们只需要讨论相似变换和反演变换情形即可，如果是相似变换，结论是显然的。以下考虑反演变换。我们将w=1代入式（1-7)得（二)/(李二)(w1, w2, w3, w4) :--上式右边直接整理即得（21，22，23，24)例1.8.4求分式线性变换w=f(z)使得f(0)=80,f(1)=1,f(1+i)=±-由保交比性，我们有1i(,1,,) =(0,1,1+,2)展开上式即得(-)/ (--)-()/()整理即得W=-1.8.4保边界性我们先解释一下什么是区域定义1.8.1复平面C上的区域?是指满足以下诸条件的点集：(1）（开条件）对③中任何点之，都可以找到以它为圆心的小圆盘，使得该圆盘完全含于③内；(2)（连通性）对9中任何点之，之，我们都可以找到连接2，之的曲线，使得该曲线完全含于内，区域的边界和我们通常的理解完全一样，这里不再严格定义了，我们可以按如下方式规定边界的走向：当你沿着边界行走时，区域总是在你的左手边，今后如无特别申明，我们总是默认这样的边界走向为正方向.区域及其边界的并集通常称作闭域下面介绍几种特殊的区域-11-
第一章复数与扩充复平面例1.8.5(1）上半平面Je := [zE C I Imz > 0]它的边界就是实轴R=|Imz=0（包括无穷远点，其正方向为从左到右.(2）以20为圆心的开圆盘B(20,r):= [zECI [z-20l <r)它的边界就是圆周C={z12一20=]，其正方向为逆时针方向(3)以8为圆心的开圆盘B(0, R) :=(z E C I /z[> R)它的边界就是圆周C={z112|=R)，其正方向为顺时针方向.(4)以20为圆心的双边圆环H(20, r, R) := [ E C / r <|2 - z0l <R]它的边界有两条，一条是圆周C1={「z－20|=)，以顺时针方向为正向；另一条是圆周-C2=[|-20=R),以逆时针方向为正向.定理1.8.3（保边界性）设9是区域，W=f(2)是分式线性变换那么f()也是区域，它的边界就是的边界在于下的像，且定向不变例1.8.6求上半平面e在反演变换下的像区域光的边界是实轴，因此反演变换下，该边界的像也是实轴，由保边界性立知，像区域的边界-也是实轴，且方向从右到左.因此按照边界定向的规定，像区域是下半平面。1.8.5保对称性假设C是圆周或者直线，21，22是扩充复平面上两点，定义1.8.2如果21,22,C满足以下条件之一，我们就称21,22关于C对称(1)C是直线，21,22关于C在通常意义下镜像对称，(2) C 是圆周|z— 20l= T, 21,2 满足(21 —20)(22 - 20)= r2. 换言之,20,21,22 三点共线,并且[21-20||22-20|=个2：特别地，当21=20时，我们规定对称点22=00.定理1.8.4（保对称性）分式线性变换保持对称性不变。换言之、若21.22关于扩充复平面内的圆周C对称，那么f(21),f(22)关于像曲线f(C)也对称.证明我们只需验证反演变换保对称性即可.这里只考虑一种情况，其余情形均可类似推出。设C是圆周[z一20l=r，且[2ol≠r、由推论1.8.1,像曲线f(C)的方程ZOr120/2 r220/272]为证明反演变换有保对称性，我们只需要按照对称的定义直接验证如下等式120(1-8)-(02)=(02-)12(21-20/2-2）- 12 -
第一章复数与扩充复平面这里21,22关于C是对称点，既满足（z1-20)(2-z0）=72，展开该式也相当于[20/22=2120+22202122(1-9)式(1-8)左边等于11 (1o2) (20 -2-21) (102- 2- 202),利用式（1-9），上式进一步简化为111高( (20)()=(02)()因此上式就等于(1-8)的右边-例1.8.7求分式线性变换w=f(2)满足f(0)=1,f()=2i，并且将上半平面仍映为上半平面.上半平面的边界是实轴。注意到i和关于实轴对称，因此由保对称性立知f(-i）与f(i）=2i也关于实轴对称，从而f(-i）=-2i.进一步由保交比性可得(1,2i,-2i,w)= (0, i,-i,2)-这样就得到W=4-21.8.6应用：区域变换利用分式线性变换，我们可以将一个区域变到另一个区域。这样的问题大致分两类.一类是已知分式线性变换，求出像区域.还有一类则是给定像区域，求出可能的分式线性变换例1.8.8单位开圆盘B(0,1)={wECIlwl<1)在反演变换下的像区域恰好变为单位圆盘的外部B(00, 1) =[zEC/ [≥|>1)反过来，单位圆盘的外部在反演变换下成为了单位圆盘内部，这种内外的互换正是“反演”一词的本意-例1.8.9设f（2)=，区域9由边界曲线Ci:|z|=l,C2 : Re((1 - i)z) = 1所围成.求像区域f(）及像曲线(Ci)，(C2)我们先求出逆变换w+1(1-10)之=-iw+1将式（1-10）代入C1的方程z=1,即得w+1=-w+1].两边平方后，得w+w++1=ww-w+w+1即Re(1+i)w)=0,这就是f(Ci)的方程.类似可得f(C2)的方程Re(w)=0虽然我们现在知道了像区域的边界，但是还未能完全确定是哪个区域，有几种办法可以确定它-13-
第一章复数与扩充复平面方法一：我们可以取③中一点20，那么f（20）必落在像区域中，换言之包含该点的区域就是我们所要的比如令20=+，那么f（20）=+这就确定了像区域的位置方法二：由保边界性，像区域的边界定向也是正向的，因此我们只需要确定边界的定向，比如在C1先后经过三点1,e-，i.因此f(C1)先后经过这三点的像，即0,e-,8o，这就确定了f(C1)-的定向.类似可确定f(C2)的定向例1.8.10设f(2)=1.区域①由边界曲线C2 : Imz= 0Ci :[2|= 1,所围成.用类似方法可求出像区域f()=(zC/ /2| >1且 Imz<0)具体验证留给读者-例1.8.11求所有的分式线性变换f(2)=书，使得上半平面光仍然变为上半平面.光P的边界是实轴。由保边界性以及假设条件，f将实轴仍然映为实轴，即对VzER，总有f()eR.这样，由保交比性可知a,b,c,d皆实数进一步，为了保证上半平面映入上半平面，我们可取光中任一点，使得该点的像也落入光中比如取=i那么f）E，即_ad-bcai+b0<Imci+d+d2亦即ad-bc>0反过来，也可验证所有满足a,b,c,dER及ad-bc>0的分式线性变换必将e映为e.■例1.8.12求所有的分式线性变换f(a)=，使得上半平面光变为单位开圆盘B(0, 1).由保边界原理，实轴映为单位圆周.换言之，VzER，总有If(2)I=1.我们假设20E光e满足f(20）=0.由保对称性，f(z0）=80.这就推出f(a)=k.2- 20keC.2-20由前讨论可知[f(0)|=1，代入上式可得[=1,故可写为k=ei0反过来可验证，若 f(2)=ei0.岁,Imz20>0,则必将映为 B(0,1)-14-
第一章复数与扩充复平面例1.8.133求所有的分式线性变换f(2)=，使得单位开圆盘B(0,1)仍映为单位开圆盘.设20EB(0,1)满足f(20）=0.此时，20关于单位圆周的对称点为需：由保对称性得f（岁)=80.这就推出f(2)=k.2-20kEC.Z02-1另一方面，f(0)=k20与f()=关于单位圆周对称，所以k/2=1,即k=e-反过来可验证，若f(2)=ei.，zol<1，则必将单位圆盘映为自身例1.8.14求所有的分式线性变换f(2)=，使得单位开圆盘B(0,1)映为单位开圆盘的外部B(,1)类似上例可得(2) =e0:- 20(20/ > 1.202-1■当然，我们也可以利用例1.8.8和例1.8.13直接得到.本章习题加*号的习题表示有一定难度习题1.1验证复数加法和乘法满足交换律、结合律和分配律(1+)"习题1.2给出2=（”的指数表示，并确定它在（一六，元）内的主幅角1-V3习题1.3利用式(1-1)，证明以下恒等式(a2 + b2)(c2 + d2) = (ac - bd) + (ad + bc)2.习题1.4设w=e普是5次本原单位根，入=w+w4,μ=w2+w3(1)证明：入+μ=入μ=-1,并求出入μ(2)进一步利用上面结论计算出的具体值(3)求cos等的根式表达式（4*）试推广以上方法，求出17次本原单位根的具体值习题1.5验证式(1-4)，(1-5)习题1.6证明命题1.7.1.-15-