第一章复数与扩充复平面让我们来求解这个方程.将z=rei及1=e0代入方程得rneing=eio另一方面，由命题1.3.3（1)即得r=1, n=2k, keZ,亦即=1,=，令w=e，==w是方程-1=0的根引理1.5.1wm=wl当且仅当m是整数，证明wm=wl等价于e2产=e2由命题1.3.3（1)，这又等价于2m=2+2k元，此处-k是某个整数.这一条件相当于说m一=k是整数命题1.5.1方程≥"-1=0的根恰好为以下n个值：1=wo,w,w2,...，wn-1换言之，我们有以下因式分解(1-2)zn_1= (z -1)(2 -w)(z-w2) -.. (z-wn-1)证明我们先证明1,w，…，wn-1两两不同.假若wm=w,0≤m，l≤n-1.由引理1.5.1,m=是整数.由于[1-ml<n，所以这就推出m=l.由代数学基本定理，方程n-1=0恰有n个根，故1,w，.，wn-1恰好是方程的所有根.■定义1.5.1满足方程zn=1的根称作n次单位根.假设z是n次单位根，并且对任何小于n的正整数m都有m≠1，我们就称之是n次本原单位根例1.5.1（1）上述的w=e-显然是n次本原单位根.1虽然是n次单位根，但不是本原的(2)2次单位根仅有1-1，其中-1是本原的(3)3次单位根有1,w=-+及w2=.本原单位根仅有w,w2-(4）4次单位根有±1,土i，其中本原单位根仅有，一i.n次本原单位根的个数记作(n)，它也称作欧拉函数，这是初等数论中最重要的数论函数之一.由例1.5.1,我们有4(1)=1,(2)=1,(3)=2,(4)=2在式（1-2)中，我们利用韦达定理即得如下结论推论1.5.1n次本原单位根w也是方程2n-1+zn-2+...+z+1=0的根，亦即wn-1+wn-2+...+w+1=0w=w-1=-(wn-2 +wn-3+.+w+1)推论1.5.221.6复数列的极限考虑21=1+iy1及22=2+i2.我们定义21,22之间的欧氏距离[21 - 22 = V(r1 - ±2)2 + (91 - y2)2.-6-
第一章复数与扩充复平面我们显然有以下不等式(1-3)max[[1 α2l, [3/1 32l) ≤ [21 22 ≤[1 2| + [31 2]设【zn]m=1是复数序列，20是给定复数定义1.6.1如果对任意正实数E，存在N>0，使得当n>N时总有[2n - z0] <e,我们就称zn)m=1以20为极限，并记作20=lim2m+OX-设zn=n+in（n=0,1,2,），判断复数列有无极限的问题可以化为实数情形来讨论命题1.6.120=limzn当且仅当[ aro = limen,I yo= lim yn.n-c证明（一）已知20=limzn.由定义，对任意正实数e，存在N>0，使得当n>N时总有|zm一20l<e.进一步由不等式(1-3)可知[an- aol <e, lyn - yol <e.因而co=liman，o=limyn.（一）已知ro=limnyo=lim_yn.对任意正实数e，存在N>0，使得当n>N时有[n-aol <, lyn -yol <52■由不等式（1-3)可知，12-20l<e.这就推出20=lim2n1.7扩充复平面1.7.1无穷远点设（z-是复数序列.如果对任意正数M>0,存在N>0，使得当n>N时，有[zml>M，我们就定义00:= lim zm.8o称为复平面的无穷远点，我们称C：=CU(oo)为扩充复平面如果limlnl=00或者limlynl=0有一个成立，那么limm=0.但反过来结论未必成立，下面举一个例子说明之，例1.7.1令m=ne-。此时limzm=o0，但是极限limlanl，limlynl均不存在■细心的读者可能会有这样的疑问，对于两个不同的复数序列，比如limn与limni，它们的极限会不会定义出不同的无穷远点呢？为了回答这一问题，我们首先要给无穷远点一个严格定义，这就是下一小节要处理的问题-7-
第一章复数与扩充复平面1.7.2球极投影考虑三维空间中的单位球S=((1,12,23)R3++a=1),北极点记作N=(0,0,1).我们将平面3=0看作复平面C.换言之，复平面上每一点=+iy可以看作三维空间中的点（c,y,0)现在我们要将单位球S2{N)上的点和复平面C上的点一一对应起来.具体方法如下：从北极点N出发作一射线通过z，该射线与单位球相交唯一的点，记作Φ（z).利用解析几何计算可知，2r2+y2-1)2y(2+2-2/2-1)(1-4)Φ(z) =(2+y2+1x2+y2+1#2+y2+1)(2/2+1（/2/2+1)2/2+1)显然，从式（1-4）可以看到，对任何z来说，Φ（>）不可能是北极点N.这样我们就得到映射重:C→S2{N],=a+y→(2)反过来，对球面上除了N外的每一点P=（c1,a2，c3)，我们也可以连接射线NP，它和复平面相交于唯一的一个点，记作亚（P）.由解析几何计算可得1+i2(1-5)亚(P) =1-a3+1-a3这就得到映射:S2(N)C,P-(P)容易验证，=Idc，亚=Ids上面的映射Φ或亚称作球极投影.我们可以将亚的定义扩充到北极点N上，即规定亚(N)：=αo.反过来，也可以定义Φ(αo）=N.这样，我们就得到扩充的球极投影ΦC?, 或 : s2C.这就建立了扩充复平面与球面之间的一一对应推论1.7.1考虑复数列（zm)m=1.以下条件等价：(1) lim 2m = 00,(2) lim Φ(zn) = N.球极投影有如下美妙性质（留给读者证明）命题1.7.1(1)假设L是复平面上的直线，那么Φ(L)是S2上经过N的圆周，反之亦然(2）假设C是复平面上的圆周，那么Φ(C)是S2上不经过N的圆周，反之亦然1.8分式线性变换在高等代数中，我们经常研究向量空间上的各种变换映射：比如空间的仿射变换（旋转、平移、伸缩）我们也希望将这样的研究推广到扩充复平面上-8-
第一章复数与扩充复平面1.8.1分式线性变换考虑两个扩充复平面，分别用z，w来表示上面的复数，我们关心如下形式的映射az+bf:C-c,z→w:cz + d这里a.b.c.d是给定的复系数，并且满足ad一bc0.这样的映射称作分式线性变换或者Mobius变换特别地，daf(8) :=f(-) := 8cc我们先考察一些特殊的分式线性变换例1.8.1（1）w=z+h（h是给定的复数）就是通常的平移(2）w=ei0（是给定的实数）即通常的旋转(3）=r2（r>0是给定的正实数）则是通常的伸缩映射这三类映射的复合可以统一写成如下形式W=kz+h■此处k，h是给定的复数.我们把上式定义的分式线性变换称作相似变换，-例1.8.2W=-定义的分式线性变换称作反演变换，引理1.8.1任何分式线性变换都存在逆映射，并且后者也是分式线性变换证明考虑分式线性变换az+bf :c-cZ-W=cz+d容易验证如下分式线性变换是于的逆dw-bf-1:C-Cw→zcw+a引理1.8.2分式线性变换的复合也是分式线性变换证明月考虑分式线性变换f(2)=及9(2)=，则ag(a)+b_a(a'z+b)+b(cz+d') _ (aa' +bc)z+(ab + bd')f(g(z) =cg(2) + d = c(alz + b) + d(c'z + d) = (ca' + dc)z+ (cb/ + dd')引理 1.8.3任何分式线性变换必是相似变换与反演变换的复合证明月设f(2)=若=0,则f是相似变换，命题显然成立.今设c≠0.此时f是以下相似变换与反演变换的复合cb-adf(2) =c2+d-9-
第一章复数与扩充复平面1.8.2保圆周性由命题1.7.1，复平面上的圆周（相应地，直线）对应球面上不过（相应地，过）北极点N的圆周.因此在扩充复平面内直线和圆周没有什么差别，无非直线是包含了无穷远点α的圆周而己。因此我们以下将这两者都统称为扩充复平面内的圆周，不再加以区分引理1.8.4扩充复平面内任何圆周都能写成如下标准方程：(1-6)Azz+Bz+Bz+C=0这里A,CER且B2-AC>0.特别地，A=0当且仅当该方程定义了复平面内的直线定理1.8.1（保圆周性）分式线性变换总是将圆周映为圆周证明由引理1.8.3，我们只需要讨论相似变换和反演变换情形即可，如果是相似变换，结论是显然的．以下我们考虑反演变换由引理1.8.4，我们将w=一代入式（1-6）整理得Cw + Bw+ Bu + A= 0.-因此由理1.8.4即知上述方程定义了扩充复平面内的圆周例1.8.3（（1）求圆周方程z-1|=1在反演变换下的像我们将w=-代入原方程得w一1=w.两边平方得(w-1)(-1)=w展开上式整理即得w+w=1.(2）求直线方程iz-证=1在反演变换下的像将W=—代入原方程得元-元=1.整理得w+w-=0-即w-计=1上面的例子也可以归结为以下的一般性叙述推论1.8.1复平面圆周一20=在反演变换w=下的像是[[ = ], 若r [20l,( Re(z0w) = 2,若r=[201直线Re(Znz）=一c（cER）在反演变换下的像是w+=[，若c0,Re(zow) = 0,若c= 0.- 10 -