《高等数学》课程教学资源（PPT课件）第9章 无穷级数 第二节 常数项级数的审敛法

一≤一,故2)若p>l,因为当n-1≤x≤n时hYaxnR福Xnp-1P-n-(n-)np-13p-1(n + 1)p-1op-12p1n→87(k + 1)p-1kp-1(n + 1)p-1k=故强级数收敛，由比较审敛法知p级数收敛目录上页下页返回结束机动

p  1, 因为当 , 1 1 p p n x  故  − = n p n p x n n 1 d 1 1  −  n n p x x 1 d 1   − −   − = −1 −1 1 ( 1) 1 1 1 p p p n n 考虑强级数   − −   − −  =  1 1 2 1 ( 1) 1 p p n n n 的部分和  n   + −   = − − =  1 1 1 ( 1) 1 1 p p n k k k n →  故强级数收敛 , 由比较审敛法知 p 级数收敛 . 时, 1 ( 1) 1 1 − + = − p n       + + + −       + −       − −1 −1 −1 −1 −1 ( 1) 1 1 3 1 2 1 2 1 1 p p p p p n n  1 2) 若

调和级数与p级数是两个常用的比较级数若存在NeZ+，对一切n≥N，=.，则Zun发散;人unnn=18(p>1)，则un收敛2）unhpn=l上页目录下页返回结束机动

调和级数与 p 级数是两个常用的比较级数. 若存在 , + N  Z 对一切 n  N

81Z发散例2.证明级数n(n+1)n=111证：因为1(n=1,2,...)n+1n(n+l)(n +1)281IZZ发散而级数kn=in+lk=2根据比较审敛法可知，所给级数发散目录上页下页返回结束机动

证明级数 发散 . 证: 因为 2 ( 1) 1 ( 1) 1 +  n n + n 而级数   = = 2 1 k k 发散 根据比较审敛法可知, 所给级数发散 . 例2

设两正项级数定理3.（比较审敛法的极限形式）88un =1, 则有Zun，Zvn 满足limn=ln-8Vnn=l(1)当 0 <1<8 时,两个级数同时收敛或发散8Eun也收敛；(2)当1=0且vn收敛时,n=ln=l88Zun也发散(3)当 /=80 且Zvn 发散时n=ln=l证：据极限定义，对c>0,存在NEZ+，当n>N时"n-<(8)Vn目录上页下页返回结束机动

定理3. (比较审敛法的极限形式) lim l, v u n n n = → 则有 两个级数同时收敛或发散 ; (2) 当 l = 0 (3) 当 l =∞ 证: 据极限定义, 设两正项级数 满足 (1) 当 0 < l <∞ 时

(n>N)(l -)vn≤un≤(l +)vn88与ZvE(1)当0<l<oo时，取<l,由定理2 可知unVnn=1n=l同时收敛或同时发散：(2)当l=0时, 利用 un<(l +8)vn (n>N),由定理2 知8若vn收敛，则un也收敛；n=1n=1un>1,即，存在NEZ+,当n>N时(3)当1= 8时,Un >Vn88Zyn发散，则Z，若由定理2可知，也发散un2n=ln=1目录上页下页返回结束机动

n n n ( l −  ) v  u  ( l +  ) v 由定理 2 可知   n=1 n v 同时收敛或同时发散 ; ( n  N ) (3) 当l = ∞时, 即 n n u  v 由定理2可知, 若   n=1 n v 发散 , (1) 当0 < l <∞时, (2) 当l = 0时, 由定理2 知   n=1 n 若 v 收敛