江画工太猩院 cOP 同理 小=P(x,y,x)减, Q ∑ 0Q dv=ite(r, y, z ) dzdx, 和并以上三式得: aP 80 aR +×+。)dv= H Prydz+Qd+REdy 8. Ox Oy 0z 高斯公式
江西理工大学理学院 ( , , ) , ∫∫∫ ∫∫ Ω Σ = ∂ ∂ dv P x y z dydz x P 同理 ( , , ) , ∫∫∫ ∫∫ Ω Σ = ∂ ∂ dv Q x y z dzdx y Q ∫∫∫ ∫∫ Ω Σ = + + ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ dv Pdydz Qdzdx Rdxdy z R y Q x P ( ) ------------------高斯公式 和并以上三式得：
江画工太猩院 由两类曲面积分之间的关系知高斯公式的另 种形式 OP O0 OR +di (Pcosa+Q cosB+Rosy)ds. ∑ Gaus公式的实质 表达了空间闭区域上的三重积分与其边界 曲面上的曲面积分之间的关系
江西理工大学理学院 Gauss公式的实质 表达了空间闭区域上的三重积分与其边界 曲面上的曲面积分之间的关系. ( cos cos cos ) . ( ) ∫∫ ∫∫∫ Σ Ω = + + ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ P Q R dS dv z R y Q x P α β γ 由两类曲面积分之间的关系知高斯公式的另一 种形式：
江画工太猩院 、简单的应用 例1计算曲面积分 ∫(xyh+(y-)xd ∑ 其中∑为柱面x2+y2=1及平 面z=0,=3所围成的空间闭 区域Ω的整个边界曲面的外侧 解P=(y-z)x,Q=0,x R=x-y
江西理工大学理学院 二、简单的应用 例1 计算曲面积分 ( x − y )dxdy + ( y − z )xdydz ∫∫ Σ 其中Σ为柱面 1 2 2 x + y = 及平 面 z = 0 , z = 3所围成的空间闭 区域 Ω的整个边界曲面的外侧. 解 , ( ) , 0 , R x y P y z x Q = − = − = x o z y 1 1 3
江画工太猩院 aP d0 OR ax oy 原式=(-0d =l(rsin 0-z)rdrdedz l dr| r(sin 0-z]rd 9兀
江西理工大学理学院 , 0, = 0, ∂∂ = ∂∂ = − ∂∂ zR yQ y z xP ∫∫∫ Ω 原式 = ( y − z)dxdydz ∫∫∫ Ω = (rsinθ − z)rdrdθdz . 2 9π = − ∫ ∫ ∫ = θ θ − π 30 10 20 d dr r(sin z)rdz x o z y 1 1 3
江画工太猩院 使用Guas式时应注意: 1.P,Q,R是对什么变量求偏导数; 2.是否满足高斯公式的条件; 3.Σ是取闭曲面的外侧
江西理工大学理学院 使用Guass公式时应注意: 1.P,Q,R是对什么变量求偏导数; 2.是否满足高斯公式的条件; 3.Σ是取闭曲面的外侧