江画工太猩院 、概念及性质 定义设Σ为光滑的有向曲面,函数在∑上有 界,把Σ分成n块小曲面△S(△S同时又表示第 i块小曲面的面积),△在xy面上的投影为 (△S)y,(5,m,7)是AS上任意取定的一点如 果当各小块曲面的直径的最大值→0时, im∑R(,n,51)(△S)存在 则称此极限为函数R(x,y,z)在有向曲面∑上对 坐标x,y的曲面积分(也称第二类曲面积分)
江西理工大学理学院 定义 设Σ为光滑的有向曲面,函数在Σ上有 界,把Σ分成n块小曲面∆Si(∆Si同时又表示第 i块小曲面的面积),∆Si在xoy面上的投影为 Si xy (∆ ) ,( , , ) ξ i ηi ζ i 是∆Si上任意取定的一点,如 果当各小块曲面的直径的最大值λ → 0时, ∑ = → ∆ n i R i i i Si xy 1 0 lim (ξ ,η ,ζ )( ) λ 存在, 则称此极限为函数R( x, y,z)在有向曲面Σ上对 坐标x, y的曲面积分(也称第二类曲面积分) 三、概念及性质
江画工太猩院 记作R(x,3小,即 n R(,y, z)dxdy =lim 2R(Si, m;, Si)(AS, →04 i=1 积分曲面被积函数 类似可定义 P(x,=im∑P5,,△S) - ∑ Q(x,,t=im∑Q(5,m,4△)x 04 i=1
江西理工大学理学院 记作∫∫ Σ R ( x , y , z )dxdy,即 ∫∫ ∑= → Σ = ∆ n i R i i i Si xy R x y z dxdy 1 0 ( , , ) lim (ξ ,η , ζ )( ) λ 被积函数 积分曲面 类似可定义 ∫∫ ∑= → Σ = ∆ n i P i i i Si yz P x y z dydz 1 0 ( , , ) lim (ξ ,η , ζ )( ) λ ∫∫ ∑= → Σ = ∆ n i Q i i i Si zx Q x y z dzdx 1 0 ( , , ) lim (ξ ,η , ζ )( ) λ
江画工太猩院 存在条件: 当P(x,y,z),Q(x,y,zR(x,y,x)在有向光滑曲 面∑上连续时,对坐标的曲面积分存在 组合形式 「P(,a)d(x,d+(x,y, 物理意义
江西理工大学理学院 存在条件: 当P( x, y,z),Q( x, y,z),R( x, y,z)在有向光滑曲 面Σ上连续时,对坐标的曲面积分存在. 组合形式: P(x, y,z)dydz + Q(x, y,z)dzdx + R(x, y,z)dxdy ∫∫ Σ 物理意义: Φ = P(x, y,z)dydz + Q(x, y,z)dzdx + R(x, y,z)dxdy ∫∫ Σ
江画工太猩院 性质 1.‖P+x+Rt pdydz+did+ rdxdy pdyd +gdzdx + rdxdy 2.P(x, y, a dydz=-P(x, 3, z dydz ∫y.减=jx,d 刂(xy23=-R(x
江西理工大学理学院 性质: ∫∫ ∫∫ ∫∫ Σ Σ Σ +Σ = + + + + + + + 1 2 1 2 1. Pdydz Qdzdx Rdxdy Pdydz Qdzdx Rdxdy Pdydz Qdzdx Rdxdy ∫∫ ∫∫ ∫∫ ∫∫ ∫∫ ∫∫ −Σ Σ −Σ Σ −Σ Σ = − = − = − R x y z dxdy R x y z dxdy Q x y z dzdx Q x y z dzdx P x y z dydz P x y z dydz ( , , ) ( , , ) ( , , ) ( , , ) 2. ( , , ) ( , , )
江画工太猩院 设有向曲面为∑:x2+y2=4被平面 z=4,=0所截部分,外侧; 则曲面积分:(x2+yd=0 ∑ ∫x2d=im∑R(55 △S) 元 0 1/r] 设有向曲面为E:xo面上x2+y21部分,下侧; 2兀 则曲面积分:(x2+yd=-drtr (x+y)dxdy
江西理工大学理学院 z z ， ； x y 所截部分 外侧 设有向曲面为 被平面 4, 0 : 4 2 2 = = ∑ + = 则曲面积分： + = ∫∫ ∑ (x y )dxdy 2 2 设有向曲面为 : xoy面上x y 1部分， 下侧； 2 2 ∑ + ≤ 则曲面积分： + = ∫∫ ∑ (x y )dxdy 2 2 0 2 2 0 1 0 3 π θ π − = − ∫ ∫ d r dr ∫∫ − + D (x y )dxdy 2 2 ∫∫ ∑ = → Σ = ∆ n i R i i i Si xy R x y z dxdy 1 0 ( , , ) lim (ξ ,η ,ζ )( ) λ