例1 例2方程的共性 一可归结为同一形式： y”+p(x)y'+q(x)y=f(x),为二阶线性微分方程 n阶线性微分方程的一般形式为 y(m+a(x)y(n-1)+.+an-1(x)y'+an(x)y=f(x) 「f(x)丰0时，称为非齐次方程 f(x)=0时，称为齐次方程 复习：一阶线性方程y+P(x)y=Q(x) 通解：y=CeP(d+erax∫e(x)dx 齐次方程通解Y 非齐次方程特解y
山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 n 阶线性微分方程的一般形式为 方程的共性 为二阶线性微分方程. 例1 例2 y + p(x) y + q(x) y = f (x), — 可归结为同一形式: ( ) ( ) ( ) ( ) 1 ( 1) 1 ( ) y a x y a x y a x y f x n n n n + + + − + = − 时, 称为非齐次方程 ; f (x) 0 时, 称为齐次方程. 复习: 一阶线性方程 y + P(x)y = Q(x) 通解: − + e Q x e x P x x P x x ( ) d ( )d ( )d − = P x x y Ce ( )d 齐次方程通解Y 非齐次方程特解 y f (x) 0
方本 二、线性齐次方程解的结构 定理1.若函数片(x),y2(x)是二阶线性齐次方程 y"+P(x)y'+Q(x)y=0 的两个解，则y=C1y1(x)+C2y2(x)(C1,C2为任意常数) 也是该方程的解.（叠加原理） 证：将y=C1(x)+C2y2(x)代入方程左边，得 [C1y1+C2y2]+P(x)[C11+C2y2] +Q(x)[C1M+C2y2] =C[y”+P(x)y+Q(x)y] +C2[y2+P(x)y2+Q(x)y2]=0 证毕
山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 ( )[ ] + P x C1 y1 + ( )[ ] + Q x C1 y1 + = 0 证毕 二、线性齐次方程解的结构 ( ), ( ) 1 2 若函数 y x y x 是二阶线性齐次方程 y + P(x)y + Q(x) y = 0 的两个解, 也是该方程的解. 证: ( ) ( ) 1 1 2 2 将 y = C y x +C y x 代入方程左边, 得 [ ] C1 y1 + 2 2 C y 2 2 C y 2 2 C y [ ( ) ( ) ] 1 1 1 1 = C y + P x y + Q x y [ ( ) ( ) ] 2 2 2 2 +C y + P x y + Q x y (叠加原理) ( ) ( ) 1 1 2 2 则y = C y x +C y x 定理1