第一章导读般说来，曲线C上的有理点和整数点是非常稀少的，有时甚至没有！数论的主要任务之一就是要求出曲线C上的有理点或整数点当我们只关心有理点或者整数点的时候，方程f(z,y)=0通常就被称为丢香图方程或者不定方程。我们的初等数论主要关心如何求出直线和圆锥曲线等的有理点或整数点.此外我们也可以考虑变量更多次数更高的不定方程或者不定方程组当我们说，求一个不定方程（组)的整数解或有理解时，就相当于说（从几何角度看），寻找这个方程定义的几何图形上的整数点或者有理点下面我们将逐一简要介绍这本讲义所关心的各类重要的不定方程（组）问题1.2.1求线性方程组的整数解（α1*，n）：a11i+a1222+:+ainan=b1A2121+a222+..+a2nTn=b2...am12i+am22+..*+amnn =bm这里诸ai,b；EZ.这一方程的求解将会引出初等数论中的整除理论和同余理论问题1.2.2求解单位圆周上的有理点（a,y)：2+y?= 1或者等价地，我们要求勾股方程X?+ y? = z2的整数解(X,Y,Z)此外，也希望求解圆周方程a?+y=d的整数解(a,y)，此处d是给定整数这些方程的求解将会涉及到近世代数中的一部分内容一事实上，近世代数的许多内容只不过是初等数论的推广问题1.2.3求解双曲线上的整数点(,9)：a2- dy2-1,此处d是给定的正整数，该不定方程也称为佩尔方程，我们将用连分数的方法来巧妙求解问题1.2.4解抛物线上的整数点(r,y)：r2 py = q,此处P，9是给定的正整数该不定方程也称为二次剩余问题或平方剩余问题.这个问题将会引出是初等数论中最引人入胜的内容之一一高斯的二次互反律注 1.2.1上面的三个问题本质上都是寻找圆锥曲线上的整数点或有理点我们也可以研究更一般的不定方程Ar?+2Bry+Cy?=D,-2-
第一章导读这里A.B.C.D是给定整数.这个方程将引出二次型理论和闵可夫斯基的“数的几何”，不过限于-本书的篇幅，我们只能简要介绍其中的部分内容问题1.2.5求解三次方程的有理数解（r,9)：y?=a3+ar+b.这一方程定义的曲线称作椭圆曲线，我们将介绍一种巧妙的计算方法，可以从已知的有理点构造出新的有理点，此外，作为应用，我们将介绍著名的同余数问题等等。问题1.2.66求高次方程的整数解(r,y)：anrn + an-1an-1 +.+aia + ao = py,这里诸aiPEZ.这一方程的求解在近世代数中有不同程度的推广。数论中还有许许多多著名的不定方程问题，其中一些至今未能解决我们这里不再一一赞述，读者将会在此后的章节中看到更多的不定方程的介绍本章习题加*号的习题表示有一定难度习题1.1证明以下各结论：(1)[国]≤a<[]+1,并给出左边等号成立的条件(2) [α +n] = [a] + n, Vn e Z.(3) [] +[y] ≤[+y] ≤[] + [] + 1.(4) [m] = [3], Vn e Z.(5)如果,y>0, [ry],[g], [3] 之间有什么关系吗?(6)画出y=[a]和y=(a}的图像(7）对任何实数O,aEZ,[-a] + [a] --1, a&Z.（8*）（厄尔米特恒等式）对任何实数恒有：++"=[m]图+++++m-3-
第二章一次不定方程第二章量一次不定方程以下如无特别声明，a,d,c.等均指整数2.1整除与素数最简单的不定方程就是求br=a,b≠0(2-1)的整数解：如果该方程有整数解，我们就称b整除a，或称α被b整除，并记作a「b：否则就称b不整除a,记作bta.显然，alb等价于说是整数.例 2.1.112,3(-6),35,(-2)1.命题2.1.1设a,b,ceZ,bc≠0，我们有(1)（传递性）若ba且c|b,则c|a;(2)（自反性)b|b;(3)（消去律）bc|ac当且仅当b|a;(4)(万有性)±1a且b0;(5）（序关系）若b|c,则[≤cl;(6）（加性）若ca,c/b,则对任何m,nEZ,都有cl（am+bm)证明月(1)-(4)是显然的，留给读者验证.(5)设=号.因为b[c且bc≠0,所以是非零整数.因而cl=≥[6].(6)设=,y=。由命题条件，a,yeZ.因此am+bn=am+yneZ,c即 c I (am + bn).-由命题2.1.1（5）以下的常用结论推论2.1.1设ab是正整数，若ab且ba,则a=b定义2.1.1设b「a（要求b≠0)，我们称b是a的因子，a是b的倍数．进一步，如果1<b<al,则称b是a的真因子有了整除的概念之后，我们可以引进“素数”这一重要的对象定义2.1.2设p>1是整数.如果p没有真因子，我们就称p是素数；否则就称合数-4-
第二章一次不定方程正整数中最前面的素数分别是2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,.其中2是唯一的偶素数命题2.1.2设n>1是整数，则n必可分解为素数的乘积n=q1q2**qk这里诸i是素数（允许相同)证明对n施归纳法：n=2时是显然的.今假设<n的情形已证，如果n是素数，则命题显然成立，如果n是合数，那么我们选取n的所有真因子中的最小者，记作q1.91必是素数（否则它将包含更小的真因子）设n=，则1<n'<n．由归纳假设，n'可以分解为一些素数的乘积n=Q2..·k因此-这就得到n=9192.··qk有时为了方便，我们可以将n的上述分解中相同的素因子合并起来，写称方幂形式的乘积(2-2)n=pmpm2.-pm, Pi<p2<-*<ps,mi≥l,这里诸9i是两两不同的素数.式（2-2)被称为n的标准分解式：后面将证明正整数的标准分解式是唯一的-例 2.1.224=23.3,120=23.3-5,100=22.52,64=262.2公因子和欧几里得算法2.2.1公因子定义 2.2.1设a,b,ceZ，且c>0.如果c[a并且c|b,我们就称c是a和b的公因子所有公因子中的最大者称作最大公因子，记作gcd(a,b)，或简记作(a,b)。如果(a,b)=1,我们就称a,b是互质的(也称互素)-例2.2.1(2, 4) = 2, (2,3) = 1, (-4, -6) = 2.注 2.2.1我们也可以用方程的语言来叙述公因子的定义，即如果方程组[cr=a,(cy=b-存在整数解（a,y)，则称c是a和b的公因子进一步，我们也可以归纳地定义n个整数a1，an的最大公因子(al, ++,an) := ((al,+,an-1),an).以下我们将介绍求最大公因子的算法.为此需要先对最大公因子的一些基本性质做一些了解，首先，我们回顾基础算术中的带余数除法-5-
第二章一次不定方程引理2.2.1（带余数除法）设a,bEZ,b>0,则存在唯一的整数g,r，使得a=qb+r，并且0≤r<b.r称为余数，q称为商，证明(1)存在性.令q=[号],r=a-bq.由第1.1节(5)的讨论，我们有0≤r=α-bq=b(-(1) <b.(2)唯一性，设a=q6’+是另一满足条件的式子.我们有(-Q)6=一7两边取绝对值得Id-ql -b==r因为≤r,rb,所以0-<b.这就推出0≤q-1,因而迫使=,故得■r=r.■注2.2.2b|a也可以等价定义为：a除以b的余数为零考虑整数集合中的特殊子集Za.b=(am+bn /m,n EZ)引理2.2.22(1)（零元)0EZa,b;(2)（封闭性）对任何a,yEZa,b,s,tEZ,都有st+tyEa,b证明(1)取m=-b,n=a,则0=am+bmez-(②)直接验算即得引理2.2.3设d=amo+bno是Ea,b中最小的正整数(1) d = (a,b):(2)对任何aEZa.b,都有da;(3)设c是a,b的任一公因子，则c|d证明(1)因为(a,b)|a,(a,b)b,故由命题2.1.1(6)立知(a, b) I d(= amo + bno).因此由命题2.1.1(5)推出(a,b)≤d.另一方面，设a=dg+r(0≤r<d)是带余数除法.我们有r = a-dg= a(1-qmo) +b(-qno) eZa.bd的最小性迫使r=0,即d|a.同理可证d|b.因此d是a和b的公因子。由最大公因子的定义得d≤(a,b).这就证明了d=(a,b).(2)显然.-(3)因ca.cb,故由命题2.1.1 (6)知cd(=amo+bmo)推论2.2.1存在a,yEZ,使得ar+by=(a,b)注2.2.3我们将在推论2.2.4中给出计算上述，y的方法-6-