思验证课后习题第6题考与练习平面点集邻域内点外点界点聚点孤立点定义开集、闭集平面点集开域、闭域、区域小有界点集结与柯西准则作完备性聚点定理业有限覆盖定理二元函数定义课后作业：88页6；89页9（1）（4）（5）（7）教学反思11
11 思 考 与 练 习 验证课后习题第 6 题. 小 结 与 作 业 平面点集 邻域 内点外点界点 定义 聚点孤立点 开集、闭集 平面点集 开域、闭域、区域 有界点集 柯西准则 完备性 聚点定理 有限覆盖定理 二元函数定义 课后作业：88 页 6；89 页 9（1）（4）（5）（7）； 教 学 反 思
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授课题目4学时$16.2二元函数的极限教学内容二元函数重极限和累次极限的定义。教学目标掌握二元函数极限和累次极限定义，领会重极限和累次极限的区别与联系。教学重点二元函数极限和累次极限的定义。教学难点用定义判别极限的存在性和特殊路径法判别极限的不存在。教学方法“系统讲授”结合“问题教学”课程导入讲授新课思考练习小结与作业6'42510°教学过程设计对比一元函数极限讲授二元函数的重极限，通过其定义形式的相同性理解二元函数极限的定义，通过讲授其其区别，理解重极限与累次极限的本质差别，注释教学过程及授课内容极限理论是微积分的基础。回忆一元函数的极限定义为若对任给正数ε，总课存在某正数，使得当0<x-x8时，都有(x)-A<,则称当x→程导时，以A为极限。0<x-x<表示的xeU（x;)，那二元函数的极限应入该如何定义呢？、二元函数的极限定义1设f为定义在DcR二元函数，P为的D一个聚点，A是一个确定的实数。若对任给正数ε，总存在某正数，使得当PeU°(P;)nD时，都有f(P)-A<s,则称f在D上当P→P时，以A为极限，记作()lim J(P)= APeD,讲授新课在对于PeD不致产生误解时，也可简单地写作()lim (P)= A当P,P分别用坐标(x,J)(xoJo)表示时，(1)也常写作()lim(x,y)= A(xJ)-(例 1 依定义验证，lim(x2+xy+2)=7.(x,y)→(2,1证因为++2-13
13 授课题目 §16.2 二元函数的极限 4 学时 教学内容 二元函数重极限和累次极限的定义。 教学目标 掌握二元函数极限和累次极限定义,领会重极限和累次极限的区别与联系。 教学重点 二元函数极限和累次极限的定义。 教学难点 用定义判别极限的存在性和特殊路径法判别极限的不存在。 教学方法 “系统讲授”结合“问题教学”. 教学过程 设计 课程导入 讲授新课 思考练习 小结与作业 6’ 25’ 10’ 4’ 对比一元函数极限讲授二元函数的重极限，通过其定义形式的相同性理解二元 函数极限的定义，通过讲授其其区别，理解重极限与累次极限的本质差别。 教学过程及授课内容 注 释 课 程 导 入 极限理论是微积分的基础。回忆一元函数的极限定义为若对任给正数 ，总 存在某正数 ，使得当 0 0 x x 时，都有 f x A , 则称 f 当 0 x x 时，以 A 为极限。 0 0 x x 表示的 0 o x U x ; ，那二元函数的极限应 该如何定义呢？ 讲 授 新 课 一、二元函数的极限 定义 1 设 f 为定义在 D R 2二元函数， P0 为的 D 一个聚点，A 是一个 确定的实数。若对任给正数 ，总存在某正数 ，使得当 P U P D o 0 ; 时， 都有 f P A , 则称 f 在．D．上．当 P P0 时，以 A 为极限，记作 lim . 0 f P A P D P P 1 在对于 P D 不致产生误解时，也可简单地写作 lim f P A. P P 1' 当 0 P,P 分别用坐标 0 0 x, y , x , y 表示时， 1' 也常写作 lim , . ( , ) ( ) 0, 0 f x y A y x y x 1" 例 1 依定义验证 lim ( ) 7. 2 2 ( , ) (2,1) x xy y x y 证 因为 7 2 2 x xy y
=(x2 - 4)+ xy -2+(y2 -1)=(x+2)(x-2)+(x-2)y+2(y-1)+(y+1)(y-1)≤x2|x+y+2 +-1+3先限制在点（2,1)的8=1方邻域(x,以)x-2<1,[y-1]<1)内讨论，于是有Iv+3=v-1+4≤v-1+4<5,[x+ y+2=(x-2)+(y-1)+5≤x-2+y-1+5<7.所以[x + x+ y2 - 7≤ 7/x2 + 5-1 7(×-2 +-1)设为任给的正数，取=min(1,)，则当x-2,-18,(x,)(2,1)时，就有[x +x+y2-7<7.28<8.例2设2-y2xy2,(x,y)(0,0)，证明，lim(x,y)=0.f(x,y)=x+y2x.3)-(0, (x,y)=(0,0)证对函数的自变量作极坐标变换x=rcosp,y=rlsinp.。这时(x,J)→(0,0)等价于对任何β都有r→0.。由于I.x?- y?[f(x, y)- 0 =y[x?+y?11r/sin 4gl 44因此，对任何>0,，只须取8=2/，，当0<=/x2+y时，不管p取什么值都有[f(x,y)-0=<即lim.f(x,y)=0(x,J)→(0,0)口14
14 ( 4) 2 ( 1) 2 2 x xy y (x 2)(x 2) (x 2)y 2(y 1) (y 1)(y 1) x 2 x y 2 y 1 y 3. 先限制在点(2,1)的 1 方邻域 x, y x 2 1, y 1 1 内讨论，于是有 y 3 y 1 4 y 1 4 5, x y 2 (x 2) (y 1) 5 x 2 y 1 5 7. 所以 7 7 2 5 1 2 2 x xy y x y 7( x 2 y 1). 设 为任给的正数，取 ) 14 min(1, ，则当 x 2 , y 1 ,(x, y) (2,1) 时， 就有 7 7 2 . 2 2 x xy y 例 2 设 0,( , ) (0,0), ,( , ) (0,0), ( , ) 2 2 2 2 x y x y x y x y xy f x y 证明 0． 0 0 lim f ( x, y ) ( x,y ) ( , ) 证 对函数的自变 量作极坐标变换 x r cos, y rlsin. 。这时 (x, y) (0,0) 等价于对任何 都有 r 0. 。由于 2 2 2 2 ( , ) 0 x y x y f x y xy , 4 1 sin 4 4 1 2 2 r r 因此，对任何 0,， 只须取 2 , ，当 2 2 0 r x y 时，不管 取 什 么 值 都 有 f (x, y) 0 即 lim ( , ) 0 ( , ) (0,0) f x y x y 。 □
下述定理及推论相当于数列极限的子列定理与一元函数极限的海涅归结原则（而且证明方法也相似），我们可通过它们进一步认识定义1中“P→P”所包含的意义.定理16.5limF(P)=A的充要条件是：对于D的任一子集E，只要P。PeDo是E的聚点，就有lim f(P)= APEEP推论1设E,cD，P。是E,的聚点，若limf(P)不存在，则limf(P)也PEDPeE,不存在，推论2设E,E,CD，P是它们的聚点，若存在极限lim f(P)= A, lim f(P)= A, ,PatoPat?但A±A，则limf(P)不存在.PEDO极限limf(P)存在充要条件是：对于D中任一满足条件P*P推论3PEDo且limP±P的点列(P)，它所对应的函数列(r(p)都收敛下面两个例子是它们的应用，当(x,J)→(0.0)时是否存在极限例3讨论f(x,y)=x?+ y解当动点（x.y）沿着直线y=mx而趋于定点（0.0)时，由于此时m，因而有f(x,y)= f(x,mx)=1+m2mlimf(x,y) = lim f(x,mx) =1+m2( (00这一结果说明动点沿不同斜率m的直线趋于原点时，对应的极限值不同，因此所讨论的极限不存在，例4二元函数[1,当0<y<x2,f(x,y)=00<x<+00时，0,其余部分图16-715
15 下述定理及推论相当 于数列极限的子列定理与一元函数极限的海涅归 结原则(而且证明方法也相似)．我们可通过它们进一步认识定义 1 中 “ P P0 ”所包含的意义． 定理 16.5 f P A P D P P lim ( ) 0 的充要条件是：对于 D 的任一子集 E，只要 P0 是 E 的聚点，就有 f P A P E P P lim ( ) 0 推论 1 设 E1 D ，P0 是 E1 的聚点，若 lim ( ) 1 0 f P P E P P 不存在，则 lim ( ) 0 f P P D P P 也 不存在． 推论 2 设 E1 ,E2 D ， P0 是它们的聚点，若存在极限 1 2 lim ( ) , lim ( ) 2 0 1 0 f P A f P A P E P P P E P P ， 但 A1 A2 ，则 lim ( ) 0 f P P D P P 不存在． 推论 3 极限 lim ( ) 0 f P P D P P 存在充要条件是：对于 D 中任一满足条件 Pn P0 且 0 lim Pn P n 的点列 Pn ，它所对应的函数列 f Pn 都收敛． 下面两个例子是它们的应用． 例 3 讨论 2 2 ( , ) x y xy f x y 当 (x, y) (0,0) 时是否存在极限． 解 当动点 (x, y) 沿着直线 y mx 而趋于定点 (0,0) 时，由于此时 2 1 ( , ) ( , ) m m f x y f x mx ，因而有 . 1 lim ( , ) lim ( , ) 2 ( , ) (0,0) 0 m m f x y f x mx x y mx x y 这一结果说明动点沿不同斜率 m 的直线趋于 原点时，对应的极限值不同，因此所讨论的极 限 不存在． 例 4 二元函数 0, . 1, 0 , ( , ) 2 其余部分 时， 当 x y x f x y