如图16一7所示，当(x,y)沿任何直线趋于原点时，相应的f(x,y)都趋于零但这并不表明此函数在(x,y)→(0,0)时极限存在．因为当点(x,y)沿抛物线y=kx(0<k<1)趋于点0时，f(x,J)将趋于1。所以limf(x,J).V-口不存在。下面我们再给出当P(x,y)→P(xo,y)时，(x,y)趋于+o（非正常极限）的定义.定义2设D为二元函数的定义域，P(xoyo)是D的一个聚点。若对任给正数M，总存在点P的一个S领域，使得当P(x,J)eU°(P;)nD时，都有f(p)>M，则称f在D上当P→P时，存在非正常极限+o0，记作limf(x,y)=+oo(x,y)-(Xoo或lim /(P) = +.仿此可类似的定义：lim f(P)=-o0与lim f(P)= 00>101例5设f(x,y)=.证明limf(x,y)=+o02x2+3y(x,J)→(0,07证因为2x2+3y2<4(x2+y2)对任给正数M，取1，就有2/MVx+y2VM由此推得2x2+32<图16-8M1即2x* +3y2 >M.这就证得结果（该函数在原点附近的图象参见图16一8）二元函数极限的四则运算法则与一元函数极限四则运算法相仿，特别把f(x,J)看作点函数f(P)时，相应定理的证法也完全相同，这里就不再列出，16
16 如图 16－7 所示，当 (x, y) 沿任何直线趋于原点时，相应的 f (x, y) 都趋于零， 但这并不表明此函数在 (x, y) (0,0) 时极限存在．因为当点 (x, y) 沿抛物线 (0 1) 2 y kx k 趋于点 O 时， f (x, y) 将趋于 1。所以 lim ( , ). ( , ) (0,0) f x y x y 不存在。 □ 下面我们再给出当 ( , ) ( , ) 0 0 0 P x y P x y 时， f (x, y) 趋于 （非正常极 限）的定义． 定义 2 设 D 为二元函数的定义域， ( , ) 0 0 0 P x y 是 D 的一个聚点。若对任 给正数 M，总存在点 P0 的一个 领域，使得当 P x y U P D o ( , ) ( 0 ; ) 时，都 有 f ( p) M ，则称 f 在．D．上．当 P P0 时，存在非正常极限 ，记作 lim ( , ) ( , ) ( , ) 0 0 f x y x y x y 或 lim ( ) . 0 f P P P 仿此可类似的定义： lim ( ) 0 f P P P 与 lim ( ) . 0 f P P P 例 5 设 . 2 3 1 ( , ) 2 2 x y f x y 证明 lim ( , ) ( , ) (0,0) f x y x y 证 因为 2 3 4( ) 2 2 2 2 x y x y ， 对任给正数 M，取 , 2 1 M 就有 . 2 2 2 1 M x y 由此推得 , 1 2 3 2 2 M x y 即 . 2 3 1 2 2 M x y 这就证得结果（该函数在原点附近的图象参见图 16－8）. 二元函数极限的四则运算法则与一元函数极限四则运算法相仿，特别把 f (x, y) 看作点函数 f P 时，相应定理的证法也完全相同，这里就不再列出．
二、累次极限在上一段所研究的极限，limf(x,y)中，两个自变量x,y同时以任何X方式趋于xo.Jo。这种极限也称为重极限。在这一段里，我们要考察x与y依一定的先后顺序相继趋于x。与y。时f的极限，这种极限称为累次极限。定义3设E,E,CR，x是E,的聚点，y是E,的聚点，二元函数f在集合D=E×E，上有定义。若对每一个yEE,y≠，存在极限limf(xy),由于此极限一般与y有关，因此记作TE:p(y)= lim f(x, y),TE!而且进一步存在极限L = lim p(v),JeE则称此极限为二元函数f先对x→x）后对→y）的累次极限，并记作L = lim lim f(x,y)JeE,ote?或简记作L= lim lim f(x,y)-yox-→类似地可以定义先对y后对x的累次极限K = lim lim f(x,y)累次极限与重极限是两个不同的概念，它们的存在性没有必然的蕴含关系．下面三个例子将说明这一点.xy例 6设f(x,y)=由例3已经知道(x,J)→(0,0)时f的重极x?+y?ay限不存在.但当y≠0时有lim=00x+yHxy从而有limlim=0.同理可得limlim=0x-0x2+yy-0x2+y即厂的两个累次极限都存在而且相等，17
17 二、累次极限 在上一段所研究的极限 lim ( , ) ( , ) ( , ) 0 0 f x y x y x y 中，两个自变量 x, y 同时以任何 方式趋于 0, 0 x y 。这种极限也称为重极限。在这一段里，我们要考察 x 与 y 依 一定的先后顺序相继趋于 0 x 与 0 y 时 f 的极限，这种极限称为累次极限． 定义 3 设 Ex ,Ey R， 0 x 是 Ex 的聚点， 0 y 是 Ey 的聚点，二元函数 f 在 集 合 D Ex Ey ① 上 有 定 义 。 若 对 每 一 个 0 y E , y y y ，存在极限 lim ( , ), 0 f x y Ex x x x 由于此极限一般与 y 有关，因此记作 lim ( , ), 0 y f x y Ex x x x 而且进一步存在极限 lim , 0 L y Ey y y y 则称此极限为二元函数 f 先对 0 x x 后对 0 y y 的累次极限，并记作 lim lim ( , ) 0 0 L f x y y Ex x x x y E y y 或简记作 lim lim ( , ). 0 0 L f x y yy xx 类似地可以定义先对 y 后对 x 的累次极限 lim lim ( , ). 0 0 K f x y yy xx 累次极限与重极限是两个不同的概念，它们的存在性没有必然的蕴含关 系．下面三个例子将说明这一点． 例 6 设 2 2 ( , ) x y xy f x y . 由例 3 已经知道 (x, y) (0,0) 时 f 的重极 限不存在.但当 y 0 时有 lim 0. 2 2 0 x y xy x 从而有 limlim 0. 2 2 0 0 x y xy y x 同理可得 limlim 0. 2 2 0 0 x y xy x y 即 f 的两个累次极限都存在而且相等．
例7 设(x,J)=-+x*+y它关于原点的两个累次极限分别为x+ylim lim -y+x* +y?y2y= lim(y-1) = -1limV->0 X-→(-00x+yx-y+x?与lim lim= lim(1+ x) = 1.limx-0y-0x->0x-→0x+yx当沿斜率不同的直线y=mx,(x,J)→(o,0)时，容易验证所得极限也不同。因此该函数的重极限不存在（下面的定理16.6将告诉我们，这是一个必然的结果）.I，它关于原点的两个累次都不存在。这例8设f(xy)=xsin-+ysin-yx是因为对任何y±0，当x→0时f的第二项不存在极限。同理，对任何x￥0，当y→0时的第一项也不存在极限。但是由于[xsin + ysin ≤+以yx故按定义1知道f的重极限存在，且，lim。J(x,y)=0(x,y)-(0,0)下述定理告诉我们：重极限与累次极限在一定条件下也是有联系的定理16.6若f(x,J)在(xg,y)点存在重极限r(x,y)lim(x,)(o.)与累次极限lim lim f(x,y)y→Xo3-→3则它们必相等。证设limf(x, y)= A(x,y)-(o,o)则对任给的正数，总存在正数8，使得当P(x,y)eU(P;)时，有(2)[f(x,y)- Al <s另由存在累次极限之假设，对任一满足不等式18
18 例 7 设 x y x y x y f x y 2 2 ( , ) ，它关于原点的两个累次极限分别为 limlim lim lim( 1) 1. 0 2 0 2 2 0 0 y y y y x y x y x y y x y y 与 limlim lim lim(1 ) 1. 0 2 0 2 2 0 0 x x x x x y x y x y x y x x 当沿斜率不同的直线 y mx,x, y 0,0 时，容易验证所得极限也不同。 因此该函数的重极限不存在（下面的定理 16.6 将告诉我们，这是一个必然 的结果）． 例 8 设 , 1 sin 1 , sin x y y f x y x 它关于原点的两个累次都不存在。这 是因为对任何 y 0 ，当 x 0 时 f 的第二项不存在极限。同理，对任何 x 0 ， 当 y 0 时 f 的第一项也不存在极限。但是由于 x y x y y x 1 sin 1 sin , 故按定义 1 知道 f 的重极限存在，且 lim , 0. , 0,0 f x y x y 下述定理告诉我们：重极限与累次极限在一定条件下也是有联系的． 定理 16.6 若 f x, y 在 0 0 x , y 点存在重极限 f x y o x y x y lim , , , 0 与累次极限 lim lim , , 0 0 f x y yx xy 则它们必相等。 证 设 lim , , , , 0 f x y A o x y x y 则对任给的正数 ，总存在正数 ，使得当 , ; U P0 P x y 时，有 f x, y A . (2) 另由存在累次极限之假设，对任一满足不等式
(3)0<|x-x|<8(4)的x，存在极限limJ(x,y)=p(x)回到不等式（2)，让其中→%，由(4)可得(5)[o(x)- A|≤.故由(3)，(5)证得limp(x)=A，即lim lim J(x,y)=(vlim.v)(x,y)=A(x,y)-(xoyor→3oy-→y由这个定理可导出如下两个便于应用的推论。推论1若累次极限lim lim f(x,y) lim lim f(x,y)--]和重极限limf(x,y)(x,y)H(.o都存在，则三者相等。推论2若累次极限lim lim f(x,y),与 lim lim f(x,y)x0存在但不相等，则重极限，limflx,y)必不存在。(x,y)-(xo.o请注意，定理16.6保证了在重极限与一个累次极限都存在时，它们必相等。（本节习题3则给出较定理16.6弱一些充分条件。）但它们对另一个累次极限的存在性却得不出什么结论，对此只需考察本节习题2（5）。推论1给出了累次极限次序可交换的一个充分条件：推论2可被用来否定重极限的存在性（如例7）。验证课后习题第3题。思考与练习19
19 0 x x0 (3) 的 x ，存在极限 lim , . 0 f x y x y y (4) 回到不等式（2），让其中 0 y y ，由(4)可得 x A . (5) 故由(3),(5)证得 x A x x 0 lim ，即 lim lim , lim , . , , 0 0 0 f x y f x y A o x x y y x y x y 由这个定理可导出如下两个便于应用的推论。 推论 1 若累次极限 f x y f x y x x y y y y x x lim lim , , lim lim , 0 0 0 0 和重极限 f x y o x y x y lim , , , 0 都存在，则三者相等。 推论 2 若累次极限 lim lim , , 0 0 f x y xx yy 与 f x y y y x x lim lim , 0 0 存在但不相等，则重极限 f x y o x y x y lim , , , 0 必不存在。 请注意，定理 16.6 保证了在重极限与一个累次极限都存在时，它们必相 等。（本节习题 3 则给出较定理 16.6 弱一些充分条件。）但它们对另一个累 次极限的存在性却得不出什么结论，对此只需考察本节习题 2（5）。 推论 1 给出了累次极限次序可交换的一个充分条件；推论 2 可被用来否 定重极限的存在性（如例 7）。 思 考 与 练 习 验证课后习题第 3 题
[x,同时趋近于x,定义任何路径[运算性质性质重极限【局部性质归结原则二元函数小结定义：两个一元函数的极限与累次极限性质作与重极限的关系业课后作业：94页1，95页2（1）（2）教学反思20
20 小 结 与 作 业 0 0 x y x y , 同时趋近于 , 定义 任何路径 运算性质 重极限 性质 局部性质 二元函数 归结原则 定义：两个一元函数的极限 累次极限 性质 与重极限的关系 课后作业：94 页 1，95 页 2（1）（2） 教 学 反 思