等价于limx,=x。，limy=y。同样地，当以p,=p(p,P。)表示点P,与P之距离时，limP,=P。也就等价于limP,=0.由于点列极限这两种等价形式都是数列极限，因此立即得到下述关于平面点列的收敛原理，定理16.1（柯西准则）平面点列(P,)收敛的充要条件是：任给正数s，存在正整数N，使得当n>N时，对一切正整数p，都有(6)p(pn,Pn+p)<8证：［必要性］设limP,=P。，则由三角不等式p(Pn,Pn+p)≤p(pn,P。)+p(Pn+p>P。)及点列收敛定义，对所给ε，存在正整数N，当n>N（也有n+p>N)时，恒有p(P,P)<号,p(P+pP)<号应用三角形不等式，立刻得到(6)式。[充分性］当(6)式成立时，则同时有x+p-x,|≤p(P, Pa+p)<6,[p-y,≤p(P, P+p)<,这说明数列(，)和(y，)都满足柯西收敛准则（定理2.10)，所以它们都收敛.设limx=x。，limyn=y。.从而由点列收敛概念推得P,收敛于点P（xo，yo）（本节习题5).定理16.2（闭域套定理）讠设(D,)是R中的闭域列，它满足：
6 等价于 n o n x x lim ， n o n y y lim 同样地，当以 n pn po , 表示点 Pn 与 Po 之 距离时， n o n P P lim 也就等价于 lim 0. n n P 由于点列极限这两种等价形式都是 数列极限，因此立即得到下述关于平面点列的收敛原理． 定理 16.1 (柯西准则) 平面点列 Pn 收敛的充要条件是：任给正数 ， 存在正整数 N，使得当 n N 时， 对一切正整数 p ，都有 pn pn p , 6 证：［必要性］设 n o n P P lim ，则由三角不等式 pn pn p pn po pn p po , , , 及点列收敛定义，对所给 ，存在正整数 N，当 n N (也有 n p N )时， 恒有 . 2 , , 2 , Pn Po Pn p Po 应用三角形不等式，立刻得到(6)式。 ［充分性］当(6)式成立时，则同时有 , , n p n Pn Pn p x x , , n p n Pn Pn p y y 这说明数列 xn 和 yn 都满足柯西收敛准则(定理 2.10)，所以它们都收 敛．设 n o n x x lim ， n o n y y lim .从而由点列收敛概念推得 Pn 收敛于点 P0 （ 0 x , 0 y ）(本节习题 5)． 定理 16.2(闭域套定理) 设 Dn 是 R 2中的闭域列，它满足：
(i) D, Dn,n= 1,2,.;(ii) d, =d(D,),limd, =0则存在惟一的点P。ED,，n=1,2,证《任取点列P,eD.，n=1,2,由于D+pD,,因此 Pa,Pa+pED,,图16-2从而有（图162)p(P,, Pn+p)<d, →0,n→0.由定理16.1知道存在P。eR"，使得limP,=P。任意取定n，对任何正整数p有P+peDa+pEDn再令p→0，由于D,是闭域，从而必定是闭集（本节习题4)。因此P。作为D,的聚点必定属于D，，即P, = lim Pap e D,n=1,..n-→o最后证明P。的惟一性。若还有P。D,n=1,2,，则由p(Po, P)≤p(Po, P)+ p(P,P)<2d,→0,n→α得到 p(Po,P)=0,即 P。=P°闭域套定理显然是R中闭区间套定理（定理7.1)的直接推广定理16.3（聚点定理）设ECR2为有界无限点集，则E在R2中至少有一个聚点.证：现用闭域套定理来证明．由于E是平面有界集合，因此存在一个闭正方形D，包含它。连接正方形对中点，把D,分成四个小的正方形，则在这四个小闭正方形中，至少有一个小闭正方形含有E中无限多个点，记这个小闭正方形为D，再对正方形D,如上法分成四个更小的闭正方图163形，其中又至少有一个小闭正方形含有E的无限多个
7 (ⅰ) , 1,2, ; Dn Dn1 n (ⅱ) ,lim 0, n n dn d Dn d 则存在惟一的点 Po Dn ，n 1,2, . 证 任取点列 Pn Dn ，n 1,2, .。 由于 , Dn p Dn 因此 Pn Pn p Dn , ， 从而有 ( 图 16-2) ， , 0, . Pn Pn p dn n 由定理 16.1 知道存在 Po R 2，使得 lim . n o n P P 任意取定 ，对任何正整数 有 . Pn p Dn p Dn 再令 p ，由于 Dn 是闭域，从而必定是闭集(本节习题 4)。因此 Po 作为 Dn 的聚点必定属于 Dn ，即 lim , 1,2, . P Pn p Dn n n o 最后证明 Po 的惟一性。若还有 P0 ' Dn ,n 1,2, ，则由 P ,P P ,Pn P ,Pn 2dn 0,n ' 0 0 ' 0 0 得到 , 0, ' P0 P0 即 . ' P0 P0 闭域套定理显然是 R 中闭区间套定理(定理 7.1)的直接推广 ． 定理 16.3(聚点定理) 设 2 E R 为有界无限点集，则 E 在 2 R 中至少有 一个聚点． 证：现用闭域套定理来证明．由于 E 是平面有界集合，因此存在一个闭 正方形 D1 包含它。连接正方形对中点，把 D1 分成四个 小的正方形，则在这四个小闭正方形中，至少有一个 小闭正方形含有 E 中无限多个点,记这个小闭正方形 为 D2 ．再对正方形 D2 如上法分成四个更小的闭正方 形，其中又至少有一个小闭正方形含有 E 的无限多个 n p
点。如此下去得到一个闭正方形序列（图16一3）：D,D, D D, o...容易看到这个闭正方形序列（D的边长随着n趋向于无限而趋向于零．于是由闭域套定理，存在一点M。D,n=1,2现在证明M。就是E的聚点。任取M。的ε邻域U(Mo;s)，当n充分大之后，正方形的边长可小于s/2，即有D,U(M;s)。又由D,的取法知道U(M;6)中含有E的无限多个点，这就表明M。是E的聚点。推论有界无限点列(P,)cR2必存在收敛子列(Pn).证明可仿照R中的相应命题（定理7.2推论）定理16.4（有限覆盖定理）设DcR为一有界闭域，(Aα）为一开域族，它覆盖了D即DU,则在(。)中必存在有限个开域A,A2"A,，它们同样覆盖了[即DU)本定理的证明与R中有限覆盖定理（定理7.3）相仿，在此从略。在更一般的情况下，可将定理16.4中的D改设为有界闭集，而△。CR为一族开集，此时定理结论依然成立。三、二元函数函数（或映射）是两个集合之间的一种确定的对应关系，实数集到实数集的映射是一元函数，现在定义二元函数定义2设平面点集DR2,若按照某对应法则f,D中每一点P(x,y)都有惟一确定的实数=与之对应，则称f为定义在D上的二元函数（或称于为D到R的一个映射），记作J:D→R,PH2,8
8 点。如此下去得到一个闭正方形序列（图 16—3）： . D1 D2 D3 容易看到这个闭正方形序列 Dn 的边长随着 n 趋向于无限而趋向于零．于 是由闭域套定理，存在一点 , 1,2, . M0 Dn n 现在证明 M0 就是 E 的聚点。任取 M0 的 邻域 ; U M0 ，当 n 充分大之后， 正方形的边长可小于 / 2 ，即有 ; Dn U M0 。又由 Dn 的取法知道 ; U M0 中含有 E 的无限多个点，这就表明 M0 是 E 的聚点． 推论 有界无限点列 2 Pn R 必存在收敛子列 Pnk ． 证明可仿照 R 中的相应命题（定理 7.2 推论） 定理 16.4（有限覆盖定理） 设 2 D R 为一有界闭域， 为一开域 族，它覆盖了 D 即D ，则在 中必存在有限个开域 , , , , 1 2 n ， 它们同样覆盖了 D . 1 n i 即D i 本定理的证明与 R 中有限覆盖定理（定理 7.3）相仿，在此从略． 在更一般的情况下，可将定理 16.4 中的 D 改设为有界闭集，而 2 R 为一族开集，此时定理结论依然成立． 三、二元函数 函数（或映射）是两个集合之间的一种确定的对应关系，实数集到实数 集的映射是一元函数，现在定义二元函数． 定义 2 设平面点集 2 D R ，若按照某对应法则 f ，D 中每一点 P(x, y) 都有惟一确定的实数 z 与之对应，则称 f 为定义在 D 上的二元函数（或称 f 为 D 到 R 的一个映射），记作 , : , P z f D R
且称D为的定义域；PeD所对应的=为f在点P的函数值，记作z=f(x,y)或z=f(P)；全体函数的集合为f的值域，记作f(D)cR。通常还把P的坐标x与y称为f的自变量，而把z称为因变量在映射意义下，上述z=f(P)称为P的象,P称为z的原象，当把(x,y)eD和它所对应的象一起组成三维数组(x,y,2)时，三维欧式空间R中的点集S = (x, y,z)z= f(x, )(x, y)e D)cR3便是二元函数了的图象．通常≥=f(x,J)的图象是一空间曲面．了的定义域D便是该曲面在xOy平面上的投影为方便起见，由(7)所确定的二元函数也记作z=f(x,y),(x,y)eD或z=(P),Pe D,且当它的定义域D不会被误解的情况下，也简单地说“函数z=(x,J)”或“函数厂”例2函数z=2x+5y的图象是R3中一个平面，其定义域是R2，值域是R.例3函数z=/1-(x2+y2)的定义域是xoy平面上的单位圆域(x,y)x+y≤1],值域为区间[0,]，它的图象是以原点为中心的单位球面的上半部（图16-4).图16-4例4z=y是定义在整个xOy平面上的函数，它的图象是过原点的双曲抛物（图16-5）例5=x+是定义在R"上的函数，值域是全体非负整数，它的9
9 且称 D 为 f 的定义域； P D 所对应的 z 为 f 在点 P 的函数值，记作 z f (x, y) 或 z f (P) ；全体函数的集合为 f 的值域，记作 f D R 。通常 还把 P 的坐标 x 与 y 称为 f 的自变量，而把 z 称为因变量． 在映射意义下，上述 z f (P) 称为P的象，P称为z的原象，当把 x, y D 和它所对应的象一起组成三维数组 (x, y,z) 时，三维欧式空间 3 R 中的点集 3 S x, y,z z f x, y , x, y D R 便是二元函数 f 的图象．通常 z f x, y 的图象是一空间曲面． f 的定义域 D 便是该曲面在 xOy 平面上的投影． 为方便起见，由 7 所确定的二元函数也记作 z f x, y, x, y D 或 z f P, P D, 且当它的定义域 D 不会被误解的情况下，也简单地说“函数 z f x, y ”或 “函数 f ”． 例２ 函数 z 2x 5y 的图象是 3 R 中一个平面，其定义域是 2 R ，值域是 R ． 例３ 函数 2 2 z 1 x y 的定义域 是 xOy 平 面 上 的 单 位 圆 域 , 1 2 2 x y x y ，值域为区间 0,1 ，它的图 象是以原点为中心的单位球面的上半部（图 16 4 ）． 例 4 z xy 是定义在整个 xOy 平面上的函数，它的图象是过原点的双 曲抛物（图 16 5 ）． 例 5 2 2 z x y 是定义在 2 R 上的函数，值域是全体非负整数，它的
图象如图16-6所示。图16-6图16-5若二元函数的值域是有界数集，则称该函数为有界函数。如例3中的函数；若值域是无界数集，则称该函数为无界函数，如2、4、5中的函数.四n元函数所有n个有序实数组(x,x2,,x,）的全体称为n维向量空间，简称n维空间，记作R"。其中每个有序实数组(xi,x2,",x,)称为R"中的一个点；n个实数x,x2",x是这个点的坐标.设E为R"中的点集，若有某个对应法则f，使E中每一点P(x,x2,",x都有惟一的一个实数y与之对应，则称f为定义在E上的n元函数（或称ECR"到R的一个映射），记作f:E-→R(a,x2,",x.)Hy)也常把n元函数简写成y= f(x,X2,*,x,)(x,X2,*,x,)eE或y=f(P),PeE对于后一种被称为“点函数”的写法，它可使多元函数与一元函数在形式上尽量保持一致，以便仿照一元函数的办法来处理多元函数中的许多问题；同时还可把二元函数的某些论断推广到n(>3)元函数10
10 图象如图 16-6 所示． 若二元函数的值域是有界数集，则称该函数为有界函数。如例 3 中的函 数；若值域是无界数集，则称该函数为无界函数，如２、４、５中的函数． 四 n 元函数 所有 n 个有序实数组 n x , x , , x 1 2 的全体称为 n 维向量空间，简称 n 维空 间，记作 n R 。其中每个有序实数组 n x , x , , x 1 2 称为 n R 中的一个点； n 个实 数 n x , x , , x 1 2 是这个点的坐标． 设 E 为 n R 中的点集，若有某个对应法则 f ，使 E 中每一点 n P x , x , , x 1 2 ， 都有惟一的一个实数 y 与之对应，则称 f 为定义在 E 上的 n 元函数（或称 f 为 n E R 到 R 的一个映射），记作 f : E R, , , , . 1 2 x x x y n 也常把 n 元函数简写成 y f x1 , x2 , , xn ,x1 , x2 , , xn E 或 y f P,P E. 对于后一种被称为“点函数”的写法，它可使多元函数与一元函数在 形式上尽量保持一致，以便仿照一元函数的办法来处理多元函数中的许多 问题；同时还可把二元函数的某些论断推广到 n 3 元函数．