f(si,ni,Si)Avi,[J f(x, y,z)dy =>lim福2→>02其中f(x,y,z)称为被积函数；f(x,y,z)dv称为被积表达式2称为积分区域x,y,z称为积分变量dv称为体积元素nf(i,ni,i)Avi 称为积分和i=1目录上页下页返回结束机动
lim 0 Ω 1 ( , , ) = ( , , )Δ , n i i i i λ i = f x y z dv f ξ η ζ v → 其中 dv 称为体积元素. f x y z ( , , ) 称为被积函数; f x y z dv ( , , ) 称为被积表达式; Ω 称为积分区域; 称为积分变量; x y z , , 称为积分和． 1 ( , , )Δ n i i i i i = f ξ η ζ v
但有物理由于三元函数f(x,y,z）没有几何意义，意义.物体的质量可用密度函数 μ(x,y,z)在区域 上的三重积分表示，即M = JJ μu(x, y,z)dv.2若函数在区域上连续，则三重积分存在特别指出，二重积分的一些性质可相应地移植到设f(x,y,z)在有界闭域 三重积分．例如中值定理上连续,V为 的体积，则存在（,n,)e,使得0f(x,,z)dv = f(E,n,s)V.2上页目录下页返回结束机动
由于三元函数 f x y z ( , , ) 没有几何意义， 但有物理 意义．物体的质量可用密度函数 的三重积分表示， μ( , , ) x y z 在区域 Ω 上 即 Ω M = ( , , ) . μ x y z dv 若函数在区域上连续，则三重积分存在． 特别指出，二重积分的一些性质可相应地移植到 三重积分．例如中值定理. 使得 设 f x y z ( , , ) 在有界闭域 Ω 上连续, V 为 Ω 的体积, 则存在 ( , , ) ξ η ζ Ω, Ω f x y z dv ( , , ) = ( , , ) . f ξ η ζ V
二、三重积分的计算计算三重积分计的基本方法是将三重积分化为三次积分计算，下面利用空间直角坐标系、柱面坐标系与球面坐标系分别来讨论将三重积分化为三次积分的方法，1.利用直角坐标计算三重积分在三重积分的定义中，对空间的有界闭区域的划分是任意的，如果在空间直角坐标系中分别用平行于三个坐标面的平面去分割空间区域，1除了靠边界上可能出现则不规则的子域外，其余的子域都是长方体.设小长方体△的边长分别为△x,△y,△z,则小长方体体积为目录上页结束机动下页返回
二、三重积分的计算 面坐标系分别来讨论将三重积分化为三次积分的方法． 计算三重积分计的基本方法是 将三重积分化为三次 积分计算，下面利用空间直角坐标系、柱面坐标系与球 1. 利用直角坐标计算三重积分 在三重积分的定义中，对空间的有界闭区域 分是任意的， Ω 的划 如果在空间直角坐标系中分别用平行于三 个坐标面的平面去分割空间区域 Ω, 出现则不规则的子域外，其余的子域都是长方体． 除了靠边界上可能 设小长 方体 Δv 的边长分别为 Δx y z ,Δ ,Δ , 则小长方体体积为
Av = AxAyaz.因此在直角坐标系中有时也把2的体积元素dv记作dv = dxdydz,而把三重积分记作[J f(x,y,z)dvy =f(x,y,z)dxdydz.22在直角坐标系下，把三重积分计算化为三次积分计算，通常有投影法和截面法两种方法，方法1·投影法（“先一后二”目录上页下页返回结束机动
dv dxdydz = , Δv x y z = Δ Δ Δ . 因此在直角坐标系中有时也把 Ω 的体积元素 dv 记作 而把三重积分记作 Ω Ω f x y z dv f x y z dxdydz ( , , ) = ( , , ) . 在直角坐标系下，把三重积分计算化为三次积分计 算，通常有投影法和截面法两种方法． 方法1 . 投影法 (“先一后二”)
设有界闭区域的下上932曲面分别为S1 : z = zi(x,y),S2 : z = z2(x, y),其中 (x,),2(x,)都是连续(x,)y=y2(x)J=JI(x)函数,且 (x,y)≤z2(x,y)Dxy，过作Q在xoy平面上的投影，得有界闭区域Dxy内任一点（x,）作平行于z轴的直线，这条直线通过曲面 Si穿入Q内，然后通过曲面 S2从Ω内穿出，穿入和穿出点的坐标分别为 i(x,J)和 z2(x,y)目录上页下页返回结束机动
o y x z Ω S1 S2 a b Dxy 1 y = y x( ) 2 y = y x( ) ( , ) x y 1 z 2 z 设有界闭区域 Ω 1 1 S z z x y : = ( , ), 2 2 S z z x y : = ( , ), 其中 1 2 z x y z x y ( , ), ( , ) 都是连续 曲面分别为 函数， 1 2 且 z x y z x y ( , ) ( , ). 的下上 作 Ω xoy 平面上的投影，得有界闭区域 , 在 Dxy 过 Dxy 内任一点 ( , ) x y 作平行于 z 轴的直线，这条直线通 过曲面 S1 穿入 Ω 内，然后通过曲面 S2 从 Ω 内穿出， 穿入和穿出点的坐标分别为 1 z x y ( , ) 2 和 z x y ( , )