口性质2互换行列式任意两行列,行列式变号。 若设4 则|A|=-A1>几何解释:交换叉乘次序 证明:|A展开式的通项为a1a2/2…an;…,…an 行标是自然顺序12…1……n 列标顺序是方2…j…j…j
性质2 互换行列式任意两行(列), 行列式变号。 n n nn s s s n t t t n n a a a a a a a a a a a a A L L L L L L L L L L L L L L L L 1 2 1 2 1 2 11 12 1 若设 = ¾ 则 |A|= -|A1| n n nn t t t n s s s n n a a a a a a a a a a a a A L L L L L L L L L L L L L L L L 1 2 1 2 1 2 11 12 1 1 = 证明：|A|展开式的通项为 t s n a1 j a2 j2Lat j Las j Lan j 1 ¾ 行标是自然顺序 行标是自然顺序 1 2LtLsLn ¾ 列标顺序是 t s n j j L j L j L j 1 2 ¾ 几何解释：交换叉乘次序 几何解释：交换叉乘次序
将|A|按行标自然排列展开 ∑(-1)ana21…a,1…a,1…a J2Jt…Js"Jn 第t行和第s行交换后,行标变为 n2 s…t…nl 即行标进行了一次对换,其逆序数变为奇数(a“an z(12…s…t…n)=奇数 2 两行交换后列标顺序保持不变,仍为A4 J1 52".J, 12 将|A1|按第三种定义展开 2 4|=∑(-1)2a1a21 12….st…n J1/2…Jt∵…JxJn ∑ (-1(-1)外“…0…∴an= 12……s…tn JJ2…Jt…Js'Jn
¾ 将|A|按行标自然排列展开 = ∑ − t s n t s n t s n j j j j j j j t j s j n j j j j j j A a a a a a L L L L L L L L L 1 2 1 2 1 2 1 2 ( ) ( 1)τ ¾ 第 t 行和第 s 行交换后，行标变为 行交换后，行标变为 ∑ + = − t s n t s n t s n j j j j j s t n j j s j t j n j s t n j j j j j A a a a a a L L L L L L L L L L L L L L L 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 (1 2 ) ( ) 1 ( 1)τ τ n n nn s s s n t t t n n a a a a a a a a a a a a A L L L L L L L L L L L L L L L L 1 2 1 2 1 2 11 12 1 = 1 2LsLtLn ¾ 即行标进行了一次对换，其逆序数变为奇数 即行标进行了一次对换，其逆序数变为奇数 τ (1 2LsLtLn) = 奇数 ¾ 两行交换后列标顺序保持不变，仍为 顺序保持不变，仍为 t s n j j L j L j L j 1 2 n n nn t t t n s s s n n a a a a a a a a a a a a A L L L L L L L L L L L L L L L L 1 2 1 2 1 2 11 12 1 1 = ¾ 将|A1|按第三种定义展开 按第三种定义展开 a a a a a A t s n t s n t s n j j j j j s t n j j s j t j n j j j j j j ∑ ⋅ − = − L L L L L L L L L L L L 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 ( ) -1 ( 1) （ ） τ
推论如果行列式有两行(列)完全相同,则 此行列式为零 证明互换相同的两行,有 A4=-4 ∴|A=0
推论 如果行列式有两行（列）完全相同，则 此行列式为零. 证明 互换相同的两行，有 ∴ A = 0. A = − A
性质3行列式的某一行(列)中所有元素的公因子可以 提到行列式符号的外面 12 12 k i2 k k a a i2 2 12 推论1行列式的某一行(列)中所有的元素都乘以同 数K,等于用数K乘此行列式。 推论2行列式的某一行(列)中所有的元素全 为零时,则此行列式的值等于零 几何解释:数k乘以平行四边形的一边, 面积S增大k倍
推论1 行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同 一数 K ，等于用数 K 乘此行列式。 n n nn i i in n a a a ka ka ka a a a L LLLLLLL L LLLLLLL L 1 2 1 2 11 12 1 n n nn i i in n a a a a a a a a a k L LLLLLLL L LLLLLLL L 1 2 1 2 11 12 1 = 性质3 行列式的某一行（列）中所有元素的公因子可以 提到行列式符号的外面． 推论2 行列式的某一行（列）中所有的元素全 为零时，则此行列式的值等于零。 ¾ 几何解释：数 k 乘以平行四边形的一边， 乘以平行四边形的一边， 面积 S 增大 k 倍
3-53 例计算三阶行列式|4=0-10 解:按定义计算,得4=?=27 验证:第一行乘以k,k=2 6-106 A=0 10|=12+42=54 验证:第一行乘以kk=04|=0
例 计算三阶行列式 7 7 2 0 1 0 3 5 3 − − − A = 解: 按定义计算，得 A = ? = 27 验证：第一行乘以k, k=2 12 42 54 7 7 2 0 1 0 6 10 6 − = + = − − A = 验证：第一行乘以k, k=0 A = 0