导航 反思感悟 解决容积的最值问题，要正确引入变量，将容积表示为变量的 函数，结合实际问题的定义域，利用导数求解函数的最值
导航 解决容积的最值问题,要正确引入变量,将容积表示为变量的 函数,结合实际问题的定义域,利用导数求解函数的最值
导 【变式训练1】用总长为14.8m的钢条制作一个长方体容器 的框架，如果所制容器的底面的一条边比另一条边长0.5，那 么高为多少时，容器的容积最大？并求它的最大容积 解：设容器底面一条边长为xm, 则另一条边长为(x+0.5)m, 高为14.8-4x,4x+0.5)-(3.2-2x)m 4 由 3.2-2x>0解得0<x<1.6. x>0
导航 【变式训练1】用总长为14.8 m的钢条制作一个长方体容器 的框架,如果所制容器的底面的一条边比另一条边长0.5 m,那 么高为多少时,容器的容积最大?并求它的最大容积. 解:设容器底面一条边长为x m, 则另一条边长为(x+0.5)m, 高为𝟏𝟒.𝟖-𝟒𝒙-𝟒(𝒙+𝟎.𝟓) 𝟒 =(3.2-2x)m. 由 𝟑.𝟐-𝟐𝒙 > 𝟎, 𝒙 > 𝟎, 解得 0<x<1.6
导航 设容器的容积为ym3, 则=xx+0.5)3.2-2x)=-2x3+2.2x2+1.6x, 所以y=-6x2+4.4x+1.6. 令y'=0,则15x2-11x-4=0, 解得x=l,告（含去 在定义域(0,1.6)内只有x=1使y'=0,且x=1是函数y=-2x3+2.2x2 +1.6x在(0,1.6)内唯一的极大值点，也就是最大值点. 因此，当=1时y取得最大值ymax=-2+2.2+1.6=1.8,此时高为 3.2-2×1=1.2(m. 故当高为1.2m时，容器的容积最大，最大容积为1.8m3
导航 设容器的容积为y m3 , 则y=x(x+0.5)(3.2-2x)=-2x 3+2.2x 2+1.6x, 所以y'=-6x 2+4.4x+1.6. 令y'=0,则15x 2 -11x-4=0, 解得 x1=1,x2=- 𝟒 𝟏𝟓 (舍去). 在定义域(0,1.6)内只有x=1使y'=0,且x=1是函数y=-2x 3+2.2x 2 +1.6x在(0,1.6)内唯一的极大值点,也就是最大值点. 因此,当x=1时,y取得最大值,ymax =-2+2.2+1.6=1.8,此时高为 3.2-2×1=1.2(m). 故当高为1.2 m时,容器的容积最大,最大容积为1.8 m3
探究二用料最省、费用最低问题 【例2】已知一圆柱形金属饮料罐，当圆柱形金属饮料罐的容 积为定值时，它的高与底面半径应怎样选取，才能使所用的 材料最省？ 解：设圆柱形金属饮料罐的高为h,底面半径为R,则表面积 S=2πRh+2元R2. 由nR么得则S-nR+2nR22R令 2+4rR=0,解得R=
导航 探究二用料最省、费用最低问题 【例2】已知一圆柱形金属饮料罐,当圆柱形金属饮料罐的容 积为定值V时,它的高与底面半径应怎样选取,才能使所用的 材料最省? 解:设圆柱形金属饮料罐的高为h,底面半径为R,则表面积 S=2πRh+2πR2 . 由 V=πR2 h,得 h= 𝑽 𝛑𝑹 𝟐 ,则 S=2πR 𝑽 𝛑𝑹 𝟐 +2πR2 = 𝟐𝑽 𝑹 +2πR2 .令 S'=- 𝟐𝑽 𝑹 𝟐 +4πR=0,解得 R= 𝐕 𝟐𝝅 𝟑
导 当05当5当 时S取得 录小位此时心 22R πR2 故当金属罐的高为底面半径的2倍时，才能使所用材料最省
导航 当 0<R< 𝑽 𝟐𝛑 𝟑 时,S'<0,当 R> 𝑽 𝟐𝛑 𝟑 时,S'>0,故当 R= 𝑽 𝟐𝛑 𝟑 时,S 取得 最小值,此时 h= 𝑽 𝛑𝑹 𝟐 = 𝟐𝛑𝑹 𝟑 𝛑𝑹 𝟐 =2R. 故当金属罐的高为底面半径的2倍时,才能使所用材料最省