例1：若 31 相似，求x,y. 相似矩阵有相同的迹→22+x=1+4 相似矩阵有相同的行列式→22x-31y=4-6」 →x=-17,y=-12
例1：若 与 相似，求 22 31 y x 1 2 3 4 x y, . 相似矩阵有相同的迹 22 1 4 + = + x 相似矩阵有相同的行列式 22 31 4 6 x y − = − = − = − x y 17, 12
性质2：相似矩阵或者都可逆，或者都不可逆。 当它们可逆时，它们的逆矩阵也相似。 性质3：若A与B相似，则kA与kB相似。 (k为正整数) P-1AP=B→P-1(kAP=kB. 性质4：若A与B相似，则Am与Bm相似。 (m为正整数) P1AP=B→Bm=BB.B=P-1APP-AP.P-AP 个 EE E =P-1A"P
性质2：相似矩阵或者都可逆，或者都不可逆。 当它们可逆时，它们的逆矩阵也相似。 性质3：若 与 相似，则 与 相似。 ( 为正整数 ) A B k kA kB 1 P AP B − = 1 P kA P kB ( ) . = − 性质4：若 与 相似，则 与 相似。 ( 为正整数 ) A B m m A m B 1 P AP B − = m m = B B B B 个 1 1 1 P APP AP P AP − − − = E E E 1 . m P A P − =
推论2：若A与B相似，而f(x)是一个多项式， 则f(A)与f(B)相似。 f(A)=anAm+an4m++aA+aE, f(B)=anBm+amBm+.+aB+aE. 推论3：若矩阵Axn与对角阵A= 相似， n 21,2,L,2n是A的n个特征值， 称方阵A可对角化
推论2：若 与 相似，而 是一个多项式， 则 与 相似。 A B f A( ) f x( ) f B( ) 1 1 1 0 ( ) , m m m m f A a A a A a A a E − = + + + + − 1 1 1 0 ( ) . m m m m f B a B a B a B a E − = + + + + − 推论3：若矩阵 A n n 与对角阵 相似， 1 2 n = O 1 2 , , , L n 是 A 的 n 个特征值， 称方阵A可对角化