《高等数学》课程教学资源（课件讲稿）第九章 多元函数微分学_0903全微分

多元函数微分法及其应用第九章第三节全微分全微分的定义0

第九章 多元函数微分法及其应用 第三节 全微分

福一、 全微分的定义1、全微分的定义引言设函数y=f(x)在某区间内有定义，x及x+△x在这区间内.如果△y=f(x+△x)-f(x)=A·△x+o(△x)，其中 A 与△r无关，那么称函数y= f(x)在x可微，而 A·△x称为y=f(x)在x相应于△r的微分，记作dy = A·△r, 当f'(x)存在时， 有 A= f'(x),dy = f'(x)dxAy = f(x + Ar) - f(x) ~ f'(x)Ar.如果函数z= f(x,y)在点(x,y)可微分，那么这函数在该点必连续函数y=f(x)在点x,可微的充分必要条件是函数y=f(x)在点x,可导dy = f(x)·dxAy ~ dy = f'(x)dx00l08个不不高数学教学部不不不

高等数学教学部 2 y  f (x  x)  f (x)  f (x)x. dy  f (x) dx y  dy  f (x)dx

福对 于 二 元 函 数 z=f(x,j) ， △z=f(x+△x,y)-f(x,y) 和△,z=f(x,y+Ay)- f(x,y)分别称为二元函数对变量x与y的偏增量固定自变量 y，若△,z= f(x+△x,y)- f(x,y)=A△r+o(△x)， 当f(x,y)存在时,则有A=f (x,y)，f (x,y)Ax称为二元函数z=f(x,y)关于变量x 的偏微分，记d,z= f(x,J)Ar.A,z= f(x+Ax,y)- f(x,y) ~ f,(x,y)Ar,固定自变量 x，若△,z=f(x,y+Ay)-f(x,y)=BAy+o(Ay)，当f,(x,y)存在时,则有B=f,(x,y),f,(x,)Ay称为二元函数z=f(x,y)关于变量y的偏微分，记d,z=f,(x,y)AyA,z = f(x,y+Ay)- f(x,y) ~ f,(x,y)Ay0008福个个个高数学教学部不不不

高等数学教学部 3 z f (x x, y) f (x, y) f (x, y) x, x      x  z f (x, y y) f (x, y) f (x, y) y. y      y 

定义讠设函数z= f(x,y)在点(x,y)的某邻域内有定义，如果函数在点(x,y)的全增量△z=f(x+△x,y+△y) f(x,y)可表示为△z = AAr+ B Ay +o(p), p = (Ax)" +(Ay),其中 A、B 不依赖于 △x、△y，仅与x、有关，则称函数f(x,y）在点(x)可微分，而A△xr+ B△y称为函数 z=f(xy)在(xy)的全微分，记作 dz，即dz = AAxr + BAy.若函数在区域D内各点都可微分，则称此函数在D内可微分001018个不不高教学教学部不不不

高等数学教学部 4

C2、判定定理如果函数z= f(x,y)在点(x,y)可微分，那么这函数在该点必连续lim△z证由微分定义知(4r,A)→(0,0)_lim [(AAx+ B△y)+o(p) =0, (其中p = /(△x)2 +(p))(4x,Ay)-→(0,0)即函数z=f(x,J)在该点连续定理 1 （(必要条件)若函数z= f(x,y)在点(x,J)可微分，则该函数在Oz. z、z必存在，且有dz=az.该点偏导数AyAx+axaxayay△z= A△x+ BAy+o(p ), 令Ay= 0, △,z = AAx+o(Ax),证azAzaz= lim[4+ 0( Ax D,= A, =B,同理limaxayAxAxAr-→>0Ar-→>0Ozaz:. dzAx+Ayoyaxazazdydx+说明Ax = dx,Ay = dy = dz:axay0008个不不高数学教学部不不不

高等数学教学部 5 z x y  ( , ) (0,0) lim  lim [( ) ( )] ( , ) (0,0) A x B y o  x y          0, z  Ax  By  o(  ), 令y  0, z A x o( x ), x     x z    x zx x    0 lim    A, B, y z    y. y z x x z dz          d y. y z d x x z dz       ] (| |) lim[ 0 x o x A x      