《高等数学》课程教学资源（课件讲稿）第九章 多元函数微分学_0902偏导数

第九章多元函数微分法及其应用第二节偏导数偏导数的定义及其计算法二、高阶偏导数0

第九章 多元函数微分法及其应用 第二节 偏导数

偏导数的定义及其计算法1、偏导数的定义引言设函数y=f(x)在点x,的某个邻域内有定义．当自变量x在x处取得增量△x(点x+△r仍在该邻域内），相应地函数取得增量Ay=f(x。+△x)-f(x,).如果△x→0时△y与△x之比的极限存在，则称之为函数y=f(x)在x处的导数，并称y=f(x)在x,处可导f(x, +Ax)- f(x.)Aylimf'(x)= limArAx-0AxAx-→00008不不不高数学教学部不不不

高等数学教学部 2 . ( ) ( ) ( ) lim lim 0 0 0 0 0 x f x x f x x y f x x x             

S定义设函数z=f(x,J)在点(xo,y)的某一邻域内有定义，当y固定在y而x在x处有增量△x时，相应地函数有增量f(x, + Ax,yo)- f(xo,yo)存在,f(x, + Ar,yo)- f(x,y.), 如果 lim ArAr->0则称此极限为函数z=f(x,y)在点(xo,J)处对x的偏导数，记为azafzxx=x,或f(xo,Jo)Ox x=xoax x=xoV=VO=Joy=yo同理定义函数z=f(x,y)在点(xo,y)处对y的偏导数，为azaff(xo,Jo +Ay)- f(xo,yo)，记为lim, x=x或f,(xo,y)ayayAyAy->0x=XoX=X=yoy=yoy=yo008个个个高等数学教学部不不不

高等数学教学部 3

S如果函数z= f(x,y)在区域D内任一点(x,y)处对x的偏导数都存在，那么这个偏导数就是x、y的函数，它就称为函数z=f(x,y)对自变azaf 量x的偏导函数，记作z,或f (x,y)axaxafOz同理可以定义函数z=f(x,y)对自变量y的偏导函数，记作ayayz,或f,(x,y)说明求函数z=f(x,y)的偏导数，可采用一元函数的求导法.即对某一个自变量求偏导时，把其余变量看成常数偏导数的概念可以推广到二元以上的函数如三元函数u= f(x,y,z)在点(x,y,z)处对x的偏导数定义为f.(x,y,z)= lim (x+ Ax, ,z)- I(x, ,z)ArAr-→0001018个不不高教学教学部不不不

高等数学教学部 4 . ( , , ) ( , , ) ( , , ) lim0 x f x x y z f x y z f x y z x x       

例 1 求 z= x2 +3xy+ y2在点(1,2)处的偏导数。azOz = 3x+2y.解2x+3y;ayaxOzaz3×1+2×2=7"= 2×1+3×2=8,ax=2xoz 1 oz例2 设z=x(x>0,x±1)，求证：= 23.y axIn x ayOz证αzyxJ-1x'Inx,axayxoz1 ozXJJ-x'Inx =x+x* =2z.yaxIn x dyVInx008个个个高等数学教学部个不个

高等数学教学部 5    x z 2x  3y ;    y z 3x  2y .       2 1 y x x z 21 3 2  8 ,      2 1 y x y z 31 2 2  7 .    x z , y1 yx    y z x ln x, y y z x x z y x      ln 1 x x x yx y x y y ln ln 1 1    y y  x  x  2z