(课间休息) 4.样本空间的划分 划分的图示 定义设S为试验E的样本空间 B B,B2,B为E的一组事件，若 (1)BB=,i≠j,ijF1,2ny (2).Bn=S, 则称B1,B2,.,Ba为样本空间的一个划分 若B1,B2.Ba是样本空间的一个划分，那 么，对于每次试验，事件B1,B2,Bn中必 有一个且仅有一个发生 5.全概率公式 定理设试验E的样本空间为S,A为E 因为A=AS=A(B1UB2UUBn) 的事件，B1,B2Bn为S的一个划分，且 =ABIAB2.ABn PB>0(=1,2,n,则 由假设PB>0(i=1,2.,n,且 P(A)=P(AB )P(B)+P(AI B )P(B,)+. (AB:)(ABj)=4AB,B,)=,i≠j +P(AIB)P(B.) ij户1,2n得到 -∑P(AIB,)PB,) P(A)=P(ABI)+P(ABz)+.+P(ABp) (5.6) =P(AlBi)P(B:)+P(AjB2)P(B2)+. +P(AB.)P(Bp). (5.6)式称为全概率公式 6.贝叶斯公式 定理设试验E的样本空间为S.A为E 的事件，B1,B2Bn为S的一个划分，且 证由条件概率的定义及全概率公 式得 P(AP0,PB>0(=1,2,n),则下面的贝 叶斯公式成立 P(B14)= PAB,)PB),1=12,.n.(6.7) P48,rB
（课间休息） 4. 样本空间的划分 定义 设 S 为试验 E 的样本空间, B1,B2,.,Bn为 E 的一组事件, 若 (1) BiBj= , i j, i,j=1,2,.,n; (2) B1 B2 . Bn=S, 则称 B1,B2,.,Bn 为样本空间的一个划分. 若 B1,B2,.,Bn是样本空间的一个划分, 那 么,对于每次试验, 事件 B1,B2,.,Bn 中必 有一个且仅有一个发生. 5. 全概率公式 定理 设试验 E 的样本空间为 S, A 为 E 的事件, B1,B2,.,Bn 为 S 的一个划分, 且 P(Bi)>0(i=1,2,.,n), 则 ( | ) ( ) (5.6) ( | ) ( ) ( ) ( | ) ( ) ( | ) ( ) 1 1 1 2 2 = = + = + + n j j j n n P A B P B P A B P B P A P A B P B P A B P B (5.6)式称为全概率公式. 6. 贝叶斯公式 定理 设试验 E 的样本空间为 S. A 为 E 的事件, B1,B2,.,Bn 为 S 的一个划分, 且 P(A)>0, P(Bi)>0 (i=1,2,.,n), 则下面的贝 叶斯公式成立: , 1,2, . . (5.7) ( | ) ( ) ( | ) ( ) ( | ) 1 i n P A B P B P A B P B P B A n j j j i i i = = = 划分的图示 B1 B2 B3 S B4 B5 证 因为 A =AS=A(B1 B2 . Bn) =AB1 AB2 . ABn 由假设 P(Bi)>0(i=1,2,.,n),且 (ABi)(ABj)= A(BiBj ) = ,i j, i,j=1,2,.,n 得到 P(A)=P(AB1)+P(AB2)+.+P(ABn) =P(A|B1)P(B1)+P(A|B2)P(B2)+. +P(A|Bn)P(Bn). 证 由条件概率的定义及全概率公 式得 i n P A B P B P A B P B P A P AB P B A n j j j i i i i , 1,2, , ( | ) ( ) ( | ) ( ) ( ) ( ) ( | ) 1 = = = =
特别地，当事件组B,B为样本空间S的一个 划分时，全概率公式和贝叶斯公式分别成为 P(A)=P(AIB)P(B)+P(AI B)P(B).(5.8) P(A|B)P(B) F(B-F(AIB)P()P()(B)(5) 这两个公式是常用的。 例5某电子设备厂所用元件由三家元件 厂供给，根据以往纪录有以下数据 制造厂次品率提供元件 元件 的份额 1 0.020.15 20.010.80 3 0.030.05 设这三厂产品在仓库中混合摆放无区别 标志(1)在仓库中任取一只元件，求它是 次品的概率：(2)如已取到一只次品，求 它由各厂生产的概率分别是多少。 解设A表示"取到次品"，B:表示"产品来 自第i家厂"，则B1,B2,B3构成划分 PB1=0.15,PB2=0.8,PB3=0.05, PAB1=0.02,PAB2=0.01,P(AB3=0.03. (1)由全概率公式 P(A)=P(A[Bi)P(Bi)+P(AJB2)P(B2)+ P(A|B3)P(B3) =0.0125 (2)由贝叶斯公式 P代B,1=PCB2(条件概率 P(A) -l82(贝叶)-0205-024 P(A) PB2|A)=0.64,P(B|A)=0.12
(5.9) ( | ) ( ) ( | ) ( ) ( | ) ( ) ( | ) ( ) ( | ) ( ) ( | ) ( ), (5.8) , 特别 , P A B P B P A B P B P A B P B P B A P A P A B P B P A B P B B B S + = = + 划分时 全概率公式和贝叶斯公式分别成为 地，当事件组 为样本空间 的一个 这两个公式是常用的。 例５ 某电子设备厂所用元件由三家元件 厂供给, 根据以往纪录有以下数据: 3 0.03 0.05 2 0.01 0.80 1 0.02 0.15 提供元件 的份额 次品率 元件 制造厂 设这三厂产品在仓库中混合摆放无区别 标志.(1)在仓库中任取一只元件，求它是 次品的概率；(2)如已取到一只次品，求 它由各厂生产的概率分别是多少。 解 设 A 表示"取到次品", Bi 表示"产品来 自第 i 家厂", 则 B1,B2,B3 构成划分, P(B1)=0.15, P(B2)=0.8, P(B3)=0.05, P(A|B1)=0.02,P(A|B2)=0.01,P(A|B3)=0.03. (1)由全概率公式 P(A)=P(A|B1)P(B1)+P(A|B2)P(B2)+ P(A|B3)P(B3) =0.0125. (2)由贝叶斯公式 ( | ) 0.64, ( | ) 0.12 0.24 0.0125 0.02 0.15 ( ) ( | ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( | ) 2 3 1 1 1 1 = = = = = = P B A P B A P A P A B P B P A P AB P B A （贝叶斯） 条件概率
例6对以往数据分析结果表明，当机器 调整得良好时，产品的合格率为98%，而 当机器发生某种故障时，其合格率为 55%.每天早上调整良好的概率为95% 试求己知某日早上第一件产品是合格品 时，机器调整良好的概率是多少？ 解设事件A为"产品合格"，事件B为"机 器调整良好” PAB)=0.98,P(AB)=0.55 P(B)=0.95, P(B)=0.05,所需求概率为P(B引A) 由贝叶斯公式 P(AIB)P(B) P(BI)=P(AIB)P(B)+P(AB)P(B) =097 这就是说：当生产出第一件产品是合格品 时，此时机器调整良好的概率为0.97. 这里，概率0.95是由以往的数据分析得 到的，叫做先验概率.而在得到信息（即 生产出第一件产品是合格品)之后再重新 加以修正的概率（即0.97）叫做后验概率 有了后验概率我们就能对机器的情况有 进一步的了解 例7根据以往临床记录，某种诊断癌症 的试验具有如下效果：若以4表示事件 试验反应为阳性”，以C表示事件“被论 断者有癌症”，则有P(A川O=0.95, P(A1C)=0.95.设被试人患有癌症的概 率为0.005，即P(0=0.005,试求 P(d. 解已知P(40=0.95, P(AC)=1-P(AIC)=0.05
例６ 对以往数据分析结果表明, 当机器 调整得良好时, 产品的合格率为 98%, 而 当机器发生某种故障时, 其合格率为 55%. 每天早上调整良好的概率为 95％. 试求已知某日早上第一件产品是合格品 时, 机器调整良好的概率是多少? 解 设事件 A 为"产品合格",事件 B 为"机 器调整良好" 0.97 ( | ) ( ) ( | ) ( ) ( | ) ( ) ( | ) ( ) 0.05, ( | ). ( ) 0.95, ( | ) 0.98, ( | ) 0.55, = + = = = = = P A B P B P A B P B P A B P B P B A P B P B A P B P A B P A B 由贝叶斯公式 所需求概率为 这就是说:当生产出第一件产品是合格品 时, 此时机器调整良好的概率为 0.97. 这里, 概率 0.95 是由以往的数据分析得 到的, 叫做先验概率. 而在得到信息(即 生产出第一件产品是合格品)之后再重新 加以修正的概率(即 0.97)叫做后验概率. 有了后验概率我们就能对机器的情况有 进一步的了解. 例７ 根据以往临床记录，某种诊断癌症 的试验具有如下效果: 若以 A 表示事件" 试验反应为阳性", 以 C 表示事件"被论 断者有癌症", 则有 P(A|C)=0.95, P(A | C) = 0.95。设被试人患有癌症的概 率为 0.005, 即 P(C)=0.005, 试求 P(C|A). 解 已知 P(A|C)=0.95, P(A| C) =1− P(A | C) = 0.05
P(C)=0.005,PC)=0.995,由贝叶斯公 式 P(AIC)P(C) PCIA)-RAIC)PC)PAIC)C)087 本题结果表明，虽然 PAC)=0.95,P(A1C)=0.95 这两个概率都比较高，但若将此试验用 于普查，则有P(CA0.087,亦即其正确 性只有8.7%（平均1000个具有阳性反应 的人中大约只有87人确患有癌症)，如果 不注意到这一点，将会得出错误的诊断 这也说明，若将PAC)和P(CA)混淆了 会造成不良的后果
P(C) = 0.005,P(C) = 0.995, 由贝叶斯公 式 0.087 ( | ) ( ) ( | ) ( ) ( | ) ( ) ( | ) = + = P A C P C P A C P C P A C P C P C A 本题结果表明, 虽然 P(A|C) = 0.95,P(A |C) = 0.95 这两个概率都比较高, 但若将此试验用 于普查, 则有 P(C|A)=0.087, 亦即其正确 性只有 8.7%(平均 1000 个具有阳性反应 的人中大约只有 87 人确患有癌症), 如果 不注意到这一点, 将会得出错误的诊断, 这也说明, 若将 P(A|C)和 P(C|A)混淆了 会造成不良的后果
第四讲独立性 §6独立性 1.引例 例1设试验E为“抛甲，乙两枚硬币，观察正反 面出现的情况”.设事件A为“甲币出现H”,事 件B为“乙币出现H”E的样本空间为 S={HH,HTTH,TT.则有 r0=子号P=子 P(4B)=P(B4) 可知PBA=P(B)而PAB)=P(APB) 事实上，由题意，甲币是否出现正面与乙币是否 出现正，是互不影响的. 2.事件的独立性： 定义设A,B是两事件，如果满足等式 P(AB)=P(A)P(B). (6.1) 则称事件A,B相互独立，简称A,B独立 容易知道，若PAP0,PBP0则A,B相互独立与 A,B互不相容不能同时成立 定理一设A,B是两事件，且P(APO,若A,B 相互独立，则PBA)=PB)反之亦然 定理二若事件A与B相互独立，则 A与B,A与B和A与B都相互独立. 证明：，A=A(BUB)=ABUAB且 ABOAB-=中
第四讲 独立性 1．引例 例１ 设试验 E 为“抛甲,乙两枚硬币, 观察正反 面出现的情况”. 设事件 A 为“甲币出现 H”, 事 件 B 为“乙币出现 H”. E 的样本空间为 S={HH,HT,TH,TT}.则有 . 2 1 , ( | ) 4 1 ( ) , 2 1 4 2 , ( ) 2 1 4 2 ( ) = = = = = = P AB P B A P A P B 可知 P(B|A)=P(B), 而 P(AB)=P(A)P(B). 事实上,由题意, 甲币是否出现正面与乙币是否 出现正，是互不影响的. 2. 事件的独立性： 定义 设 A,B 是两事件, 如果满足等式 P(AB)=P(A)P(B), (6.1) 则称事件 A,B 相互独立, 简称 A,B 独立. 容易知道, 若 P(A)>0,P(B)>0 则 A,B 相互独立与 A,B 互不相容不能同时成立. 定理一 设 A,B 是两事件, 且 P(A)>0, 若 A,B 相互独立, 则 P(B|A)=P(B)反之亦然. 定理二 若事件 A 与 B 相互独立, 则 A与B , A与B 和 A与B 都相互独立. 证明： A = A(B B) = AB AB 且 AB AB = §6 独立性